Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho mẫu số:} \\
& 2x^2 + y^2 + 3 = (x^2 + y^2) + (x^2 + 1) + 2 \\
& \ge 2\sqrt{x^2y^2} + 2\sqrt{x^2 \cdot 1} + 2 \\
& = 2xy + 2x + 2 \\
& = 2(xy + x + 1) \\
& \Rightarrow \dfrac{x}{2x^2 + y^2 + 3} \le \dfrac{x}{2(xy + x + 1)} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{x}{xy + x + 1} \\
& \text{Chứng minh tương tự:} \\
& \dfrac{y}{2y^2 + z^2 + 3} \le \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{y}{yz + y + 1} \\
& \dfrac{z}{2z^2 + x^2 + 3} \le \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{z}{zx + z + 1} \\
& \Rightarrow P \le \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{x}{xy + x + 1} + \dfrac{y}{yz + y + 1} + \dfrac{z}{zx + z + 1} \right) \\
& \text{Biến đổi các phân thức trong ngoặc (sử dụng } xyz = 1\text{):} \\
& \dfrac{y}{yz + y + 1} = \dfrac{y \cdot x}{yz \cdot x + y \cdot x + 1 \cdot x} = \dfrac{xy}{xyz + xy + x} = \dfrac{xy}{1 + xy + x} \\
& \dfrac{z}{zx + z + 1} = \dfrac{z \cdot xy}{zx \cdot xy + z \cdot xy + 1 \cdot xy} = \dfrac{xyz}{x^2yz + xyz + xy} = \dfrac{1}{x + 1 + xy} \\
& \Rightarrow \dfrac{x}{xy + x + 1} + \dfrac{y}{yz + y + 1} + \dfrac{z}{zx + z + 1} = \dfrac{x + xy + 1}{xy + x + 1} = 1 \\
& \Rightarrow P \le \dfrac{1}{2} \cdot 1 = \dfrac{1}{2} \\
& \text{Dấu "=" xảy ra } \Leftrightarrow \begin{cases} x^2 = y^2 \\ x^2 = 1 \\ xyz = 1 \end{cases} \Leftrightarrow x = y = z = 1. \\
& \text{Vậy giá trị lớn nhất của } P \text{ là } \dfrac{1}{2}.
\end{aligned}$