Đáp án + Giải thích các bước giải:

Ta có: $D, E$ lần lượt là chân đường cao hạ từ $A, B$ trong $\triangle ABC$

$\Rightarrow \widehat{AEB}= \widehat{ADB} = 90^\circ$

$\Rightarrow \widehat{AEB}$ và $\widehat{ADB}$ nội tiếp nửa đường tròn đường kính $AB$

$\Rightarrow A, E, D, B$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $AB$

$\Rightarrow \widehat{ADE} = \widehat{ABE} \Big(2$ góc nội tiếp cùng chắn $\overparen{AB}\Big)$

$\Rightarrow \widehat{HDE}= \widehat{FBH}$

Ta có: $D, F$ lần lượt là chân đường cao hạ từ $A, C$ trong $\triangle ABC$

$\Rightarrow \widehat{BFH}= \widehat{BDH} = 90^\circ$

$\Rightarrow \widehat{BFH}$ và $\widehat{BDH}$ nội tiếp nửa đường tròn đường kính $BH$

$\Rightarrow B, F, H, D$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $BH$

$\Rightarrow \widehat{FDH}= \widehat{FBH}\Big(2$ góc nội tiếp cùng chắn $\overparen{FH}\Big)$

$\Rightarrow \widehat{FDH} = \widehat{HDE}$

$\Rightarrow DH$ là phân giác của $\widehat{FDE} (1)$

Ta có: $F, E$ lần lượt là chân đường cao hạ từ $C, B$ trong $\triangle ABC$

$\Rightarrow \widehat{BFC} = \widehat{BEC} = 90^\circ$

$\Rightarrow \widehat{BFC}$ và $\widehat{BEC}$ nội tiếp nửa đường tròn đường kính $BC$

$\Rightarrow B, F, E, C$ nằm trên đường tròn đường kính $BC$

$\Rightarrow \widehat{EFC} = \widehat{EBC} \Big(2$ góc nội tiếp cùng chắn $\overparen{EC}\Big)$

$\Rightarrow \widehat{EFH} = \widehat{HBD}$

Ta có: $B, F, D, H$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $BH$

$\Rightarrow \widehat{HFD} = \widehat{HBD}\Big(2$ góc nội tiếp cùng chắn $\overparen{HD}\Big)$

$\Rightarrow \widehat{EFH} = \widehat{HFD}$

$\Rightarrow FH$ là phân giác của $\widehat{EFD} (2)$

Từ $(1)$ và $(2) \Rightarrow H$ là giao điểm của hai đường phân giác trong của $\triangle DEF$

$\Rightarrow H$ là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle DEF$