Giải thích các bước giải:

a. Vì $AB$ là đường kính của $(O)$
$\rightarrow \widehat{AMB} = \widehat{ACB} = 90^{\circ}$
Mà $NI \perp AB$
$\rightarrow \widehat{AMI} = \widehat{ANI} = 90^{\circ}$
$\rightarrow AMIN$ nội tiếp đường tròn đường kính $IA$

b. Xét $\Delta BIN, \Delta BMA$ có:
Chung $\widehat{B}$
$\widehat{BNI} = \widehat{BMA} (= 90^{\circ})$
$\rightarrow \Delta BNI \sim \Delta BMA (g.g)$
$\rightarrow \dfrac{BN}{BM} = \dfrac{BI}{BA}$
$\rightarrow BI.BM = BN.BA$

Tương tự: $AI.AC = AN.AB$
$\rightarrow BI.BM + AI.AC = BN.BA + AN.AB = AB^2 = (2 \cdot 4)^2 = 64$

c.Ta có:

$\widehat{INB}=\widehat{ICB}=90^o$

$\to INBC$ nội tiếp đường tròn đường kính $BI$

$\to \widehat{INC}=\widehat{IBC}=\widehat{MBC}=\dfrac12\widehat{MOC}$

Vì $AMIN$ nội tiếp

$\to \widehat{MNI}=\widehat{MAI}=\widehat{MAC}=\dfrac12\widehat{MOC}$

$\to \widehat{MNI}+\widehat{INC}=\widehat{MOC}$

$\to \widehat{MNC}=\widehat{MOC}$

$\to MCON$ nội tiếp

$\to O\in (MNC)$

$\to$Tâm của $(MNC)\in$ trung trực $CO$

Ta có:

$E, F$ là trung điểm $AC, BC$

$CO\perp AB\to \Delta AOC,\Delta BOC$ vuông tại $O$

$\to FO=FA=FC=\dfrac12AC, EO=EC=EB=\dfrac12BC$

Vì $FO=FC, EO=EC$

$\to F, E\in$ trung trực $OC$

$\to FE$ là trung trực $OC$

$\to $Tâm $(MCN)\in EF$