Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 Với $a,b,c>0,\ a+b+c=3.$Đặt $p=ab+bc+ca$

Xét $A=\dfrac{a^2+bc}{b+ca}+\dfrac{b^2+ca}{c+ab}+\dfrac{c^2+ab}{a+bc}$

Áp dụng Cauchy-Schwarz dạng Engel:

$A=\dfrac{\left(\sqrt{a^{2}+bc}\right)^{2}}{b+ca}
+\dfrac{\left(\sqrt{b^{2}+ca}\right)^{2}}{c+ab}
+\dfrac{\left(\sqrt{c^{2}+ab}\right)^{2}}{a+bc}
\ge
\dfrac{\left(\sqrt{a^{2}+bc}+\sqrt{b^{2}+ca}+\sqrt{c^{2}+ab}\right)^{2}}
{(b+ca)+(c+ab)+(a+bc)}$

Mà $\left(\sqrt{a^{2}+bc}+\sqrt{b^{2}+ca}+\sqrt{c^{2}+ab}\right)^{2}
\ge 3\Big[(a^{2}+bc)+(b^{2}+ca)+(c^{2}+ab)\Big]$  (Cauchy-Schwarz)

$⇒A \ge
\dfrac{3\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca\right)}{(a+b+c)+(ab+bc+ca)}
=
\dfrac{3\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+p\right)}{3+p}$

Mà $a^2+b^2+c^2≥\dfrac{(a+b+c)^2}{3}=\dfrac{9}{3}=3$

$⇒A≥\dfrac{3(3+p)}{3+p}=3$

$⇒A=\dfrac{a^2+bc}{b+ca}+\dfrac{b^2+ca}{c+ab}+\dfrac{c^2+ab}{a+bc}≥3$

Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c=1$