Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{Gọi tập con cần chọn là } X = \{a, b, c\} \text{ với } a, b, c \in \{1, 2, \dots, 100\} \text{ và } a < b < c. \\
& \text{Theo giả thiết: } a + b + c = 91. \\
& \text{Số nghiệm nguyên dương của phương trình } x + y + z = 91 \text{ là:} \\
& C_{91-1}^{3-1} = C_{90}^2 = \frac{90 \times 89}{2} = 4005. \\
& \text{Ta loại bỏ các trường hợp có các phần tử trùng nhau:} \\
& \bullet \ \text{Trường hợp 3 số bằng nhau: } 3x = 91 \Rightarrow x = 91/3 \ (\text{không nguyên}). \Rightarrow 0 \text{ trường hợp.} \\
& \bullet \ \text{Trường hợp có đúng 2 số bằng nhau: } 2x + y = 91. \\
& \quad \text{Ta có } y = 91 - 2x. \text{ Vì } y \ge 1 \Rightarrow 91 - 2x \ge 1 \Rightarrow 2x \le 90 \Rightarrow x \le 45. \\
& \quad \text{Có } 45 \text{ giá trị của } x. \text{ Với mỗi bộ } \{x, x, y\}, \text{ có } 3 \text{ hoán vị. } \\
& \quad \text{Tổng số nghiệm có ít nhất 2 số bằng nhau là: } 45 \times 3 = 135. \\
& \text{Số nghiệm có 3 số phân biệt (có thứ tự) là:} \\
& 4005 - 135 = 3870. \\
& \text{Vì tập hợp không phân biệt thứ tự phần tử, nên số tập con } S \text{ là:} \\
& |S| = \frac{3870}{3!} = \frac{3870}{6} = 645. \\
\\
& \text{Gọi } E \text{ là biến cố "3 số lập thành cấp số nhân". Gọi 3 số đó là } a, b, c \text{ với } a < b < c. \\
& \text{Tính chất cấp số nhân: } b^2 = ac. \\
& \text{Gọi công bội là } q = \frac{m}{n} \ (m > n \ge 1, \gcd(m,n)=1). \\
& \text{Ba số có dạng: } k \cdot n^2; \ k \cdot nm; \ k \cdot m^2 \ (k \in \mathbb{N}^*). \\
& \text{Tổng ba số: } k(n^2 + nm + m^2) = 91. \\
& \text{Do đó, } (n^2 + nm + m^2) \text{ phải là ước của 91. Các ước của 91 là } \{1, 7, 13, 91\}. \\
& \text{Xét các trường hợp của } D = n^2 + nm + m^2: \\
& \bullet \ D = 1: \text{Không tồn tại } n, m \ge 1. \\
& \bullet \ D = 7: \text{Chọn } n=1, m=2 \Rightarrow 1^2 + 1\cdot2 + 2^2 = 7. \\
& \quad \Rightarrow k = 91/7 = 13. \\
& \quad \text{Bộ số: } \{13\cdot1, 13\cdot2, 13\cdot4\} \Rightarrow \{13, 26, 52\}. \ (\text{Thỏa mãn}) \\
& \bullet \ D = 13: \text{Chọn } n=1, m=3 \Rightarrow 1^2 + 1\cdot3 + 3^2 = 13. \\
& \quad \Rightarrow k = 91/13 = 7. \\
& \quad \text{Bộ số: } \{7\cdot1, 7\cdot3, 7\cdot9\} \Rightarrow \{7, 21, 63\}. \ (\text{Thỏa mãn}) \\
& \bullet \ D = 91: \Rightarrow k = 1. \\
& \quad - \text{TH1: } n=1, m=9 \Rightarrow 1 + 9 + 81 = 91. \\
& \quad \quad \text{Bộ số: } \{1, 9, 81\}. \ (\text{Thỏa mãn}) \\
& \quad - \text{TH2: } n=5, m=6 \Rightarrow 25 + 30 + 36 = 91. \\
& \quad \quad \text{Bộ số: } \{25, 30, 36\}. \ (\text{Thỏa mãn}) \\
& \text{Vậy có 4 tập con thỏa mãn yêu cầu đề bài: } |E| = 4. \\
\\
& \text{Xác suất là:} \\
& P(E) = \frac{|E|}{|S|} = \frac{4}{645}.
\end{aligned}$