Giải hộ em chi tiết bài này với ạ

Đáp án:

a.Sai

b.Sai

c.Đúng

Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{Khảo sát hàm số: } f(x) = \sin x - e^x \text{ trên đoạn } \left[0; \dfrac{\pi}{2}\right] \\
& \\
& \text{1. Kiểm tra đạo hàm (Mệnh đề c)} \\
& f'(x) = (\sin x)' - (e^x)' \\
& f'(x) = \cos x - e^x \quad (\forall x \in \mathbb{R}) \\
& \Rightarrow \text{Mệnh đề c) ĐÚNG} \\
& \\
& \text{2. Tìm giá trị nhỏ nhất trên } \left[0; \dfrac{\pi}{2}\right] \text{ (Mệnh đề a)} \\
& \text{Xét } x \in \left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]: \\
& \begin{cases} \cos x \le 1 \\ e^x \ge e^0 = 1 \end{cases} \\
& \Rightarrow \cos x - e^x \le 0 \\
& \Rightarrow f'(x) \le 0 \quad \forall x \in \left[0; \dfrac{\pi}{2}\right] \\
& \text{Hàm số nghịch biến trên đoạn } \left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]. \\
& \Rightarrow \min_{\left[0; \frac{\pi}{2}\right]} f(x) = f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) - e^{\frac{\pi}{2}} = 1 - e^{\frac{\pi}{2}} \\
& \text{Giá trị tại } x=0: f(0) = \sin 0 - e^0 = -1 \quad (\text{Là giá trị LỚN nhất}) \\
& \Rightarrow \text{Mệnh đề a) SAI} \\
& \\
& \text{3. Giải phương trình } f''(x) = 0 \text{ (Mệnh đề b)} \\
& f''(x) = ( \cos x - e^x )' \\
& f''(x) = -\sin x - e^x \\
& \text{Xét phương trình } f''(x) = 0: \\
& -\sin x - e^x = 0 \\
& \sin x + e^x = 0 \\
& \text{Với } x \in \left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]: \\
& \begin{cases} \sin x \ge 0 \\ e^x \ge 1 \end{cases} \Rightarrow \sin x + e^x \ge 1 > 0 \\
& \Rightarrow f''(x) < 0 \quad \forall x \in \left[0; \dfrac{\pi}{2}\right] \\
& \Rightarrow \text{Phương trình vô nghiệm trên đoạn này.} \\
& \text{Kiểm tra tại } x=0: f''(0) = -0 - 1 = -1 \ne 0 \\
& \Rightarrow \text{Mệnh đề b) SAI}
\end{aligned}$