Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $\widehat{ADC}=\widehat{AFC}=90^o$

$\to ADFC$ nội tiếp đường tròn đường kính $AC$

b.Vì $AK$ là đường kính của $(O)$

$\to \widehat{ACK}=90^o$

$\to \widehat{BAD}=90^o-\widehat{ABD}=90^o-\widehat{ABC}=90^o-\widehat{AKC}=\widehat{CAK}$

c.Vì $M, N$ là trung điểm $BC, CA$

$\to MN$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\to MN//AB$

Ta có: $ADFC$ nội tiếp
$\to \widehat{AFD}=\widehat{ACD}=\widehat{ACB}=\widehat{AKB}$

$\to DF//BK$

Do $AK$ là đường kính của $(O)$

$\to \widehat{ABK}=90^o$

$\to AB\perp BK$

$\to AB\perp DF$

$\to MN\perp DF$

Kẻ $KG\perp BC$

$\to \widehat{KGC}=\widehat{KBA}(=90^o)$

      $\widehat{GCK}=\widehat{BCK}=\widehat{BAK}$

$\to \Delta KGC\sim\Delta KBA(g.g)$

$\to \dfrac{GC}{AB}=\dfrac{KC}{KA}$

$\to GC=\dfrac{AB.KC}{KA}$

Vì $\Delta ADB\sim\Delta ACK$

$\to \dfrac{BD}{CK}=\dfrac{AB}{AK}$

$\to BD=\dfrac{CK.AB}{AK}=GC$

$\to MD=MB-BD=MC-CG=MG$

$\to M$ là trung điểm $DG$

Ta có: $\widehat{KGC}=\widehat{KFC}=90^o$

$\to KFGC$ nội tiếp
$\to \widehat{DGF}=\widehat{FKC}=\widehat{AKC}=\widehat{ABC}$

$\to FG//AB$

Do $DF//KB$

$\to \widehat{DFG}=90^o$

Tương tự: $\widehat{DEG}=90^o$

$\to DEGF$ nội tiếp đường tròn đường kính $DG$

Do $M$ là trung điểm $DG$

$\to M$ là tâm $(DEGF)$

$\to M$ là tâm$(DEF)$