Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

 Gọi $\vec{AB},\ \vec{AC}$ làm $2$ vectơ cơ sở

$\vec{BM}=\dfrac{1}{3}\vec{BC}=\dfrac{1}{3}(\vec{AC}-\vec{AB})$

$⇒\vec{AM}=\vec{AB}+\vec{BM}=\vec{AB}+\dfrac{1}{3}(\vec{AC}-\vec{AB})$

$⇒\vec{AM}=\dfrac{2}{3}\vec{AB}+\dfrac{1}{3}\vec{AC}$

Đặt $I∈AM,\ I∈CN$

$\vec{AI}=t\ \vec{AM}$

$\vec{CI}=s\ \vec{CN}$

Mà $\vec{AI}=\vec{AC}+\vec{CI}$

$⇒t\left(\dfrac{2}{3}\vec{AB}+\dfrac{1}{3}\vec{AC}\right)=\vec{AC}+s\left(\dfrac{1}{3}\vec{AB}-\vec{AC}\right)$

$⇒\begin{cases}
\dfrac{2}{3}t=\dfrac{1}{3}s\\[4pt]
\dfrac{1}{3}t=1-s
\end{cases}$

$⇒
\begin{cases}
s=2t\\[4pt]
\dfrac{1}{3}t=1-2t
\end{cases}
$

$⇒t=\dfrac{3}{7}$

$⇒\vec{AI}=\dfrac{3}{7}\vec{AM}=\dfrac{3}{7}\left(\dfrac{2}{3}\vec{AB}+\dfrac{1}{3}\vec{AC}\right)=\dfrac{2}{7}\vec{AB}+\dfrac{1}{7}\vec{AC}$

$\vec{BI}=\vec{BA}+\vec{AI}=-\vec{AB}+\dfrac{2}{7}\vec{AB}+\dfrac{1}{7}\vec{AC}=-\dfrac{5}{7}\vec{AB}+\dfrac{1}{7}\vec{AC}$

$\vec{BC}=\vec{AC}-\vec{AB}$

$⇒S_{IBC}=\dfrac{1}{2}\left|\vec{BI}·\vec{BC}\right|$

$⇒S_{IBC}=\dfrac{1}{2}\left|\left(-\dfrac{5}{7}\vec{AB}+\dfrac{1}{7}\vec{AC}\right)·\left(\vec{AC}-\vec{AB}\right)\right|=\dfrac{1}{2}\left|-\dfrac{4}{7}\vec{AB}·\vec{AC}\right|$

$⇒S_{IBC}=\dfrac{4}{7}·\dfrac{1}{2}\left|\vec{AB}·\vec{AC}\right|=\dfrac{4}{7}S_{ABC}$

Tam giác đều cạnh $a⇒S_{ABC}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$

$⇒S_{IBC}=\dfrac{4}{7}·\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{7}$