Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

Từ hình vẽ thấy cung $AB$ đi qua điểm $(0,1)$

Đặt $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$

Qua $B(-1,0)⇒\dfrac{-a+b}{-c+d}=0$

$⇒b=a$

Qua $(0,1)⇒1=\dfrac{b}{d}⇒b=d$

$⇒b=d=a$

Qua $A\left(4,\ \dfrac{5}{3}\right)⇒\dfrac{4a+b}{4c+d}=\dfrac{5}{3}$

$⇒\dfrac{4a+a}{4c+a}=\dfrac{5}{3}$

$⇒\dfrac{5a}{4c+a}=\dfrac{5}{3}$

$⇒15a=20c+5a⇒c=\dfrac{a}{2}$

Chọn $a=2⇒b=d=2,\ c=1$

$y=\dfrac{2x+2}{x+2}=\dfrac{2(x+1)}{x+2}$

Cung chuyển động từ $B$ đến $A$ tương ứng $x∈[-1,4]$

$⇒x+2∈[1,6]>0$

Với $M(x,y)$ trên cung

$⇒OM^2=x^2+y^2$

$⇒OM^2=x^2+\left(\dfrac{2(x+1)}{x+2}\right)^2$

$⇒OM^2=\dfrac{x^2(x+2)^2+4(x+1)^2}{(x+2)^2}$

$⇒OM^2=\dfrac{x^4+4x^3+8x^2+8x+4}{(x+2)^2}$

$⇒OM^2=\dfrac{(x^2+2x+2)^2}{(x+2)^2}$

$⇒OM=\dfrac{x^2+2x+2}{x+2}$

$x+2>0$ trên $[-1,4]⇒OM=\dfrac{(x+2)x+2}{x+2}=x+\dfrac{2}{x+2}$

Xét $f(x)=x+\dfrac{2}{x+2}$ trên $[-1,4]:$

$f'(x)=1-\dfrac{2}{(x+2)^2}$

$f'(x)=0⇒1-\dfrac{2}{(x+2)^2}=0$

$⇒(x+2)^2=2⇒x=-2±\sqrt{2}$

Trong đoạn $[-1,4]$ chỉ có $x_0=-2+\sqrt{2}$

$→OM_{\text{min}}=f(x_0)=\left(-2+\sqrt{2}\right)+\dfrac{2}{\sqrt{2}}≈0,83$