Đáp án:

a có trong tam giác ABCABCABC:

ha=bsin⁡C,hb=csin⁡A,hc=asin⁡Bh_a = b\sin C,\quad h_b = c\sin A,\quad h_c = a\sin Bha​=bsinC,hb​=csinA,hc​=asinB

Điều kiện đề bài:

asin⁡A+bsin⁡B+csin⁡C=ha+hb+hca\sin A + b\sin B + c\sin C = h_a + h_b + h_casinA+bsinB+csinC=ha​+hb​+hc​

Thay vào:

asin⁡A+bsin⁡B+csin⁡C=bsin⁡C+csin⁡A+asin⁡Ba\sin A + b\sin B + c\sin C = b\sin C + c\sin A + a\sin BasinA+bsinB+csinC=bsinC+csinA+asinB

Chuyển vế:

a(sin⁡A−sin⁡B)+b(sin⁡B−sin⁡C)+c(sin⁡C−sin⁡A)=0a(\sin A - \sin B) + b(\sin B - \sin C) + c(\sin C - \sin A) = 0a(sinA−sinB)+b(sinB−sinC)+c(sinC−sinA)=0

Vì a,b,c>0a,b,c > 0a,b,c>0 nên suy ra:

sin⁡A=sin⁡B=sin⁡C\sin A = \sin B = \sin CsinA=sinB=sinC

Trong tam giác, điều này chỉ xảy ra khi:

A=B=C=60∘A = B = C = 60^\circA=B=C=60∘

Kết luận: tam giác ABCABCABC là tam giác đều . Giải thích :Bước 1: Nhắc lại công thức đường cao
Trong tam giác 𝐴𝐵𝐶ABC:
Đường cao từ 𝐴A:
ℎ𝑎=𝑏sin⁡𝐶ha ​
=bsinC
Đường cao từ 𝐵B:
ℎ𝑏=𝑐sin⁡𝐴hb ​
=csinA
Đường cao từ 𝐶C:
ℎ𝑐=𝑎sin⁡𝐵hc ​
=asinBBước 2: Thay vào điều kiện đề bài
Đề cho:
𝑎sin⁡𝐴+𝑏sin⁡𝐵+𝑐sin⁡𝐶=ℎ𝑎+ℎ𝑏+ℎ𝑐asinA+bsinB+csinC=ha ​
+hb ​
+hc ​

Thay ℎ𝑎,ℎ𝑏,ℎ𝑐ha ​
,hb ​
,hc ​
:
𝑎sin⁡𝐴+𝑏sin⁡𝐵+𝑐sin⁡𝐶=𝑏sin⁡𝐶+𝑐sin⁡𝐴+𝑎sin⁡𝐵asinA+bsinB+csinC=bsinC+csinA+asinBBước 3: Chuyển vế và nhóm
Chuyển hết sang một vế:
𝑎(sin⁡𝐴−sin⁡𝐵)+𝑏(sin⁡𝐵−sin⁡𝐶)+𝑐(sin⁡𝐶−sin⁡𝐴)=0a(sinA−sinB)+b(sinB−sinC)+c(sinC−sinA)=0Bước 4: Vì sao suy ra các sin bằng nhau?
Các hệ số 𝑎,𝑏,𝑐a,b,c đều dương.
Tổng của ba số dương nhân với các hiệu sin mà bằng 0⇒ chỉ có thể khi:
sin⁡𝐴=sin⁡𝐵=sin⁡𝐶sinA=sinB=sinCBước 5: Từ sin bằng nhau ⇒ góc bằng nhau
Trong tam giác:
Các góc đều nhỏ hơn 180∘180∘
sin⁡𝐴=sin⁡𝐵=sin⁡𝐶sinA=sinB=sinC⇒ 𝐴=𝐵=𝐶A=B=C
Mà:
𝐴+𝐵+𝐶=180∘A+B+C=180∘
⇒
𝐴=𝐵=𝐶=60∘A=B=C=60∘