`a)`

Xét `ΔABM` có $EG//BM,E∈AB,G∈AM$

Suy ra:`(BE)/(AE)=(MG)/(AG)(1)`(định lí Thalès)

`b)`

Xét `ΔACN` có $FG//CN,F∈AC,G∈AN$

Suy ra:`(CF)/(AF)=(NG)/(AG)(2)`(định lí Thalès)

Cộng vế của `(1),(2)` ta được:

`(BE)/(AE)+(CF)/(AF)=(MG)/(AG)+(NG)/(AG)=(MG+NG)/(AG)=(GD-DM+GD+DN)/(AG)=(2GD+DN-DM)/(AG)(3)`

Vì `{:(BM"//"EF"(gt)"),(CN"//"EF"(gt)"):}}=>BM"//"CN`

Suy ra:`hat{DBM}=\hat{DCN}`(so le trong)

Xét `ΔBDM` và `ΔCDN` có:

`\hat{BDM}=\hat{CDN}`(đối đỉnh)

`BD=CD`(do `AD` là đường trung tuyến `ΔABC`)

`hat{DBM}=\hat{DCN}`(cmt)

Do đó:`ΔBDM=ΔCDN`(g.c.g)

Suy ra:`DM=DN(4)`(2 cạnh tương ứng)

Từ `(3)` và `(4)` suy ra `(BE)/(AE)+(CF)/(AF)=(2GD)/(AG)`

Vì `G` là trọng tâm `ΔABC`(gt) nên `AG=2GD`

Do đó:`(BE)/(AE)+(CF)/(AF)=1`

`c)`

Xét `ΔABM` có $EG//BM,E∈AB,G∈AM$

Suy ra:`(AB)/(AE)=(AM)/(AG)`(định lí Thalès)

Xét `ΔACN` có $FG//CN,F∈AC,G∈AN$

Suy ra:`(AC)/(AF)=(AN)/(AG)`(định lí Thalès)

Khi đó:`(AB)/(AE)+(AC)/(AF)=(AM)/(AG)+(AN)/(AG)=(AM+AN)/(AG)=(AD-DM+AD+DN)/(AG)=(2AD)/(AG)`

Vì `G` là trọng tâm `ΔABC`(gt) nên `AG=2/3AD`

Do đó:`(AB)/(AE)+(AC)/(AF)=(2AD)/(2/3AD)=3`