Trái lê

hệ phương trình gồm:

1. $(x + \sqrt{x^2 + 2x + 2} + 1)(y + \sqrt{y^2 + 1}) = 1$

2. $x^2 - 3xy - y^2 = 3$

B1: Biến đổi phương trình (1)

Nhận thấy $x^2 + 2x + 2 = (x+1)^2 + 1$. Đặt $u = x+1$, phương trình (1) trở thành:

$$(u + \sqrt{u^2 + 1})(y + \sqrt{y^2 + 1}) = 1 \quad (*)$$

Ta cos tính chất liên hợp: $( \sqrt{u^2 + 1} + u)( \sqrt{u^2 + 1} - u) = 1$.

Từ $(*)$, ta suy ra:

$$y + \sqrt{y^2 + 1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + 1} + u} = \sqrt{u^2 + 1} - u$$

So sánh hai vế:

$$y + \sqrt{y^2 + 1} = (-u) + \sqrt{(-u)^2 + 1}$$

xét hàm số $f(t) = t + \sqrt{t^2+1}$. Vì đây là hàm đơn điệu tăng trên $\mathbb{R}$, nên $f(y) = f(-u)$ dẫn đến:

$$y = -u \implies y = -(x+1) \implies \mathbf{y = -x - 1}$$Bước 2: Thay vào phương trình (2)

thay $y = -x - 1$ vào phương trình $x^2 - 3xy - y^2 = 3$:

$$x^2 - 3x(-x - 1) - (-(x + 1))^2 = 3$$$$x^2 + 3x^2 + 3x - (x^2 + 2x + 1) = 3$$$$3x^2 + x - 1 = 3$$$$3x^2 + x - 4 = 0$$

giải phương trình bậc hai này (tổng các hệ số $a+b+c = 3+1-4=0$):

• $x_1 = 1$

• $x_2 = -\frac{4}{3}$

B3: tìm các cặp nghiệm $(x, y)$

• Với $x = 1 \implies y = -1 - 1 = -2$

• Với $x = -\frac{4}{3} \implies y = -(-\frac{4}{3}) - 1 = \frac{1}{3}$

Thì: hệ phương trình có hai nghiệm là $(1; -2)$ và $(-\frac{4}{3}; \frac{1}{3})$. 

mrrpmrrpmtrrp meow