Ta viết lại phương trình `Delta_1` và `Delta_2` như sau:

`(Delta_1):{(x=3+2t),(y=t),(z=1+t):}` và `(Delta_2):{(x=1+t),(y=2+2t),(z=t):}`.

Gọi `H(2a+3;a;a+1) in (Delta_1)` và `K(b+1;2b+2;b) in (Delta_2)`.

Suy ra `vec(KH)=(2a-b+2;a-2b-2;a-b+1)`, do `Delta bot d` nên `vec(KH)` và `vec(v)=(1;1;-2)`.

Suy ra `vec(KH)*vec(v)=0=>2a-b+2+a-2b-2-2(a-b+1)=0=>a=b+2`.

Khi này `vec(KH)=(b+6;-b;3)=>HK=sqrt((b+6)^2+b^2+9)=sqrt(2b^2+12b+45)`

`=>HK=sqrt(2(b^2+6b)+45)=sqrt(2(b^2+6b+9)+27)=sqrt(2(b+3)^2+27)>=sqrt27=3sqrt3`.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi `b+3=0` hay `b=-3=>a=-1`.

Suy ra `H(1;-1;0)` và `K(-2;-4;-3)` và `vec(KH)=(3;3;3)`, chọn VTCP là `vec(u)=(1;1;1)`.

Như vậy, ta có: `(Delta):{(x=1+t),(y=-1+t),(z=t):}`.

Vậy `h=k=1`, suy ra `h+k=2`.

`---------------------`

Nhận xét một chút, đề bài này hơi "lỏng".

Gọi `vec(u)=(a;b;c)` là VTCP của đường thẳng `Delta`, do `Delta bot d` nên `vec(u) bot vec(v)=(1;1;-2)`.

Suy ra `vec(u)*vec(v)=0<=>a+b-2c=0<=>c=(a+b)/2`.

Suy ra `vec(u)=(a;b;(a+b)/2)`.

Cho `(a+b)/2=1=>b=2-a`, suy ra `vec(u)=(a;2-a;1)`.

Khi đó ta có `h=a,k=2-a=>h+k=2`.

Vậy ta luôn có `h+k=2`, chỉ cần `Delta` vuông góc với `d`.