Đáp án + Giải thích các bước giải:

Kẻ đường thẳng đi qua $C$ song song với $AD$, cắt đường thẳng $AB$ tại $E$

$\Rightarrow \widehat{CAE} +\widehat{CAB} = \widehat{CAE} + 120^\circ = 180^\circ$

$\Rightarrow \widehat{CAE} = 60^\circ$

Ta có: $AD$ là phân giác của $\widehat{BAC}$

$\Rightarrow \widehat{BAD} = \widehat{CAD} = \dfrac{\widehat{BAC}}{2} = 60^\circ$

Ta có: $CE // AD (\text{gt})$

$\Rightarrow \widehat{BEC} = \widehat{BAD} = 60^\circ($so le trong$)$

$\Rightarrow \widehat{AEC} = 60^\circ$

$\Rightarrow \widehat{CAE} = \widehat{AEC} = 60^\circ$

$\Rightarrow \triangle AEC$ đều

$\Rightarrow AC = EC = AE$

Xét $\triangle ABC$, có $AD$ là phân giác của $\widehat{BAC}$

$\Rightarrow \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{BD}{CD}$

$\Rightarrow \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{BD}{CD}$

$\Rightarrow \dfrac{AB}{AC} + 1 = \dfrac{BD}{CD} + 1$

Mặt khác, $\triangle AEC$ có $AD // EC, A \in BE, D \in BC$

$\Rightarrow \dfrac{AB}{BE} = \dfrac{AD}{CE} ($hệ quả của định lý Thalès$)$

$\Rightarrow \dfrac{AB}{BE} = \dfrac{AD}{AC}$

$\Rightarrow \dfrac{BE}{AB} = \dfrac{AC}{AD}$

Mà $\dfrac{BE}{AB} = 1 + \dfrac{AE}{AB} = 1 + \dfrac{AC}{AB}$

$\Rightarrow 1 +\dfrac{AC}{AB} = \dfrac{AC}{AD}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{AB} + \dfrac{1}{AC} = \dfrac{1}{AD}$