a)

$\displaystyle \text{Gọi } E \text{ là trung điểm của } AC.$
$\displaystyle \text{Xét } \triangle SAC \text{ và } \triangle SBD, \text{ ta có:}$
$\displaystyle \vec{EM} = \vec{SM} - \vec{SE} = \frac{1}{2}\vec{SD} - \frac{1}{2}(\vec{SA} + \vec{SC}) = \frac{1}{2}(\vec{SD} - \vec{SA} - \vec{SC}) = \frac{1}{2}(\vec{AD} - \vec{SC}).$
$\displaystyle \text{Mặt khác: } \vec{BN} = \vec{SN} - \vec{SB} = \frac{1}{2}\vec{SC} - \vec{SB}.$
$\displaystyle \text{Do } AD = 2BC \text{ và } AD \parallel BC \Rightarrow \vec{AD} = 2\vec{BC} \Rightarrow \vec{BC} = \frac{1}{2}\vec{AD}.$
$\displaystyle \Rightarrow \vec{SB} = \vec{SC} - \vec{BC} = \vec{SC} - \frac{1}{2}\vec{AD}.$
$\displaystyle \text{Thay vào } \vec{BN}: \vec{BN} = \frac{1}{2}\vec{SC} - (\vec{SC} - \frac{1}{2}\vec{AD}) = \frac{1}{2}\vec{AD} - \frac{1}{2}\vec{SC}.$
$\displaystyle \text{Suy ra } \vec{BN} = \vec{EM}. \text{ Do đó } BN \parallel EM.$
$\displaystyle \text{Mà } EM \subset (MAC) \text{ nên } BN \parallel (MAC).$

b)
$\displaystyle \text{Gọi } F \text{ là trung điểm của } BD.$
$\displaystyle \text{Ta có } I \text{ là trung điểm } AD, BC = AI = \frac{1}{2}AD \text{ và } BC \parallel AI \Rightarrow AICB \text{ là hình bình hành.}$
$\displaystyle \Rightarrow CI \parallel AB. \text{ Trong } \triangle ABD, CI \text{ đi qua trung điểm } I \text{ của } AD \text{ và } CI \parallel AB$
$\displaystyle \Rightarrow CI \text{ đi qua trung điểm } F \text{ của } BD.$
$\displaystyle \text{Ta có:}$
$\displaystyle \bullet \ P = BM \cap (SCI). \text{ Vì } F \in CI \subset (SCI) \text{ và } F \in BD \subset (SBD) \Rightarrow (SCI) \cap (SBD) = SF.$
$\displaystyle \Rightarrow P = BM \cap SF. \text{ Trong } \triangle SBD, P \text{ là giao điểm 2 trung tuyến } BM, SF \Rightarrow P \text{ là trọng tâm } \triangle SBD.$
$\displaystyle \bullet \ Q = AN \cap (SBI). \text{ Tương tự, gọi } O = AC \cap BI \Rightarrow (SBI) \cap (SAC) = SO.$
$\displaystyle \Rightarrow Q = AN \cap SO. \text{ Trong } \triangle SAC, Q \text{ là trọng tâm } \triangle SAC.$

$\displaystyle \text{Áp dụng tính chất trọng tâm: } \vec{SP} = \frac{2}{3}\vec{SF}, \vec{SQ} = \frac{2}{3}\vec{SO} \text{ (với } O \text{ là trung điểm } AC, \text{ tức } O \equiv E).$
$\displaystyle \Rightarrow \vec{PQ} = \vec{SQ} - \vec{SP} = \frac{2}{3}(\vec{SE} - \vec{SF}) = \frac{2}{3}\vec{FE}.$
$\displaystyle \text{Trong } \triangle ABD \text{ (hoặc hình thang } ABCD \text{)}, EF \text{ là đoạn nối hai trung điểm hai đường chéo.}$
$\displaystyle \vec{FE} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{DC}) \text{ (Công thức đoạn nối trung điểm 2 đường chéo hình thang)}.$
$\displaystyle \text{Hoặc đơn giản hơn: } \vec{PQ} = \frac{1}{3}(\vec{DA} + \vec{BC}) = \frac{1}{3}(-\vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{AD}) = -\frac{1}{6}\vec{AD}.$
$\displaystyle \Rightarrow PQ = \frac{1}{6}AD \Rightarrow \frac{PQ}{AD} = \frac{1}{6}.$