Với các số thực `x,y` thỏa mãn `5x (y^2 - 1) = 4 (x^2 + y^2)` và `5y (x^2 + 1) = 3 (x^2 + y^2)` thì `(x;y)` là nghiệm của hệ `{(5x (y^2 - 1) = 4 (x^2 + y^2)),(5y (x^2 + 1) = 3 (x^2 + y^2)):}`

Xét hệ phương trình trên:

`{(5x (y^2 - 1) = 4 (x^2 + y^2)),(5y (x^2 + 1) = 3 (x^2 + y^2)):}`

- Với `x,y ne 0` thì:

`{((y^2 - 1)/(x^2 + y^2) = 4/(5x)),((x^2 + 1)/(x^2 + y^2) = 3/(5y)):}`

+) `(y^2 - 1)/(x^2 + y^2) + (x^2 + 1)/(x^2 + y^2) = 4/(5x) + 3/(5y)`

`(x^2 + y^2)/(x^2 + y^2) = (3x + 4y)/(5xy)`

`(3x+4y)/(5xy) = 1`

`3x + 4y = 5xy`

`3x = 5xy - 4y`

`3x = y (5x - 4)`

`1/(3x) = 1/(y (5x - 4))` (với `x,y ne 0`, `x ne 4/5`)

`y/(3x) = 1/(5x-4)`

`y = (3x)/(5x-4)`

`y^2 = (9x^2)/(25x^2 - 40x + 16)`

Thay `y^2 = (9x^2)/(25x^2 - 40x + 16)` vào phương trình `(1)` được:

`5x ((9x^2)/(25x^2 - 40x + 16) - 1) = 4 (x^2 + (9x^2)/(25x^2 - 40x + 16))`

`5x . (-16x^2 + 40x - 16)/(25x^2 - 40x + 16) = 4 . (25x^4 - 40x^3 + 25x^2)/(25x^2 - 40x + 16)`

- Với `25x^4 - 40x + 16 ne 0` thì

`-80x^3 + 200x^2 - 80x = 100x^4 - 160x^3 + 100x^2`

`100x^4 - 160x^3 + 80x^3 + 100x^2 - 200x^2 + 80x = 0`

`100x^4 - 80x^3 - 100x^2 + 80x = 0`

`20x (x-1)(x+1)(5x - 4) = 0`

`20x = 0` hoặc `x - 1 = 0` hoặc `x + 1 = 0` hoặc `5x -4 = 0`

`x = 0` (ktm) hoặc `x = 1`(tm) hoặc `x = -1`(tm) hoặc `x = 4/5` (ktm)

Khi đó:

+) Với `x = 1` thì `y = (3.1)/(5.1 - 4) = 3/(5-4) = 3/1 = 3`

+) Với `x = -1` thì `y = (3 . (-1))/(5 . (-1) - 4) = (-3)/(-5-4) = (-3)/(-9) = 1/3`

- Với `x ne 4/5` thì `y = (3x)/(5x-4) = (3.4/5)/(5.4/5 - 4) = 12/5 : 0` (vô lí)

- Với `x,y = 0` thì thỏa mãn điều kiện

Vậy, `(x;y) in {(1;3);(-1;1/3)}`