Gọi `q(x)` là thương khi chia `f(x)` cho `x + 4`, `q'(x)` là thương khi chia `f(x)` cho `x - 3`

Theo đề bài, ta có:

+) `f(x)` chia cho `x + 4` dư `9` nên `f(x) = q(x) . (x+4) + 9`

Khi đó: `f(-4) = q(-4) . (-4 + 4) + 9 = 0 . q(-4) + 9 = 9 (1)`

+) `f(x)` chia cho `x - 3` dư `2` nên `f(x) = q'(x) . (x-3) + 2`

Khi đó: `f(3) = q'(3) . (3-3) + 2 = 0 . q'(3) + 2 = 2 (2)`

+) Vì `f(x)` chia cho `x^2 + x - 12 = (x+4)(x-3)` có thương là `x^2 + 3` và còn dư, gọi đa thức dư của phép chia này là `ax + b` (vì đa thức chia có bậc `2` nên đa thức dư có bậc cao nhất có thể là `1`)

Khi đó: `f(x) = (x^2 + 3) . (x+4) . (x-3) + ax + b`

Theo `(1)` thì: `f(-4) = [(-4)^2 + 3] . (-4 + 4) . (-4 - 3) - 4a + b = 19 . 0 . (-7) - 4a + b = -4a + b = 9`

Nên `b = 9 + 4a`

Theo `(2)` thì: `f(3) = (3^2 + 3) . (3+4) . (3-3) + 3a + b = 12.7.0+3a+b = 3a + b = 2`

Thay `b = 9 + 4a` vào `3a + b = 2` được:

`3a + 9 + 4a = 2`

`7a = -7`

`a = -1`

Vì `a = -1` nên `b = 9 + 4 . (-1) = 9-4 = 5`

Vậy, `f(x) = (x^2 + 3)(x+4)(x-3) - x + 5 = x^4 + x^3 - 9x^2 + 2x - 31`.