`a)`

Ta có : `ΔABC` cân tại `A` có `AM` là trung tuyến `=>AM` là đường cao

Xét tứ giác `AMCD` ,có : `2` đường chéo `AC,MD` cắt nhau tại trung điểm `N`

`=>AMCD` là hình bình hành

Mà `\hat{M}=90^o`

`=>AMCD` là hình chữ nhật

`b)`

Vì `AMCD` là hình chữ nhật `=>AD║MC ; AD=MC`

                                            Mà `M∈BC ; MB=MC`

                                            `=>AD║BM ; AD=BM`

Xét tứ giác `ADMB` ,có : `AD║BM ; AD=BM`

`=>ADMB` là hình bình hành

`=>2` đường chéo `AM,BD` cắt nhau tại trung điểm

Mà `AM∩BD` tại `O`

`=>O` là trung điểm `BD`

Xét `ΔBDM` ,có : `O,N` lần lượt là trung điểm `BD,MD`

nên `ON` là đường trung bình

`=>ON=1/2 BM`

Mà `BM=1/2 BC`

`=>ON=1/4 BC`

`=>BC=4ON`

`c)`

Vì `ON` là đường trung bình `ΔBDM=>ON║BC` (3)

Xét `ΔADM` ,có : `2` đường trung tuyến `AN,DO` cắt nhau tại `I`

`=>I` là trọng tâm

Mà `DO` là trung tuyến

`=>(ID)/(OD)=2/3 (1)`

Vì `G` là trọng tâm `ΔACD=>(GD)/(KD)=2/3 (2)` 

Từ (1) và (2) `=>(ID)/(OD)=(GD)/(KD)=2/3` nên theo định lí Thalès đảo

                     ta có : `GI║ON` (4)

Từ (3) và (4) `=>GI║BC`