a) 

`A = (2sqrt(x))/(sqrt(x) + 3) + 3/(sqrt(x) - 3) + (x+9)/(9-x) (x > 0, x ne 9)`

`A = (2sqrt(x) . (sqrt(x) - 3))/((sqrt(x) + 3)(sqrt(x) - 3)) + (3 (sqrt(x) + 3))/((sqrt(x) + 3)(sqrt(x) - 3)) - (x+9)/((sqrt(x) + 3)(sqrt(x) - 3))`

`A = (2x-6sqrt(x))/((sqrt(x) + 3)(sqrt(x) - 3)) + (3sqrt(x) + 9)/((sqrt(x) + 3)(sqrt(x) - 3)) - (x+9)/((sqrt(x) + 3)(sqrt(x) - 3))`

`A = (2x - 6sqrt(x) + 3sqrt(x) + 9 - x - 9)/((sqrt(x) + 3)(sqrt(x) - 3))`

`A = (x - 3sqrt(x))/((sqrt(x) + 3)(sqrt(x) - 3))`

`A = (sqrt(x) (sqrt(x) - 3))/((sqrt(x) + 3)(sqrt(x) - 3))`

`A = (sqrt(x))/(sqrt(x) + 3)`

Vậy, `A = (sqrt(x))/(sqrt(x) + 3)` với `x > 0`, `x ne 9`

b)

Ta có: `A < 1/2`

`(sqrt(x))/(sqrt(x) + 3) < 1/2`

`(sqrt(x))/(sqrt(x) + 3) - 1/2 < 0`

`(2sqrt(x) - sqrt(x) - 3)/(2(sqrt(x) + 3)) < 0`

`(sqrt(x) - 3)/(sqrt(x) + 3) < 0`

Với `x > 0`, `x ne 9` thì `sqrt(x) + 3 > 0` nên `sqrt(x) - 3 < 0`

`sqrt(x) < 3`

`x < 9`

Mà `x > 0`, `x ne 9`, `x in ZZ` nên `x in {1;2;3;4;5;6;7;8}`

Vậy, `x in {1;2;3;4;5;6;7;8}`

c) 

Ta có: `|A - 2/5| > A - 2/5` nên `A - 2/5 < 0`

`A < 2/5`

`(sqrt(x))/(sqrt(x) + 3) - 2/5 < 0`

`(5sqrt(x) - 2 (sqrt(x) + 3))/(5 (sqrt(x) + 3)) < 0`

`(3sqrt(x) - 3)/(5 (sqrt(x) + 3)) < 0`

Với `x > 0`, `x ne 9` thì `5(sqrt(x) + 3) > 0` nên `3sqrt(x) - 3 < 0`

`3 (sqrt(x) - 1) < 0`

`sqrt(x) - 1 < 0`

`sqrt(x) < 1`

`x < 1`

Mà `x > 0`, `x ne 9`

Vậy, `0 < x < 1`

d)

Ta có: `P = A.B = (sqrt(x))/(sqrt(x) + 3) . (x+16)/(sqrt(x)) = (x+16)/(sqrt(x) + 3)`

`P = (x-9)/(sqrt(x) + 3) + 25/(sqrt(x) + 3)`

`P = ((sqrt(x) - 3)(sqrt(x) + 3))/(sqrt(x) + 3)+ 25/(sqrt(x) + 3)`

`P = sqrt(x) - 3 + 25/(sqrt(x) + 3)`

`P = (sqrt(x) + 3) + 25/(sqrt(x) + 3) - 6`

`>= 2 . sqrt((sqrt(x) + 3) . 25/(sqrt(x) + 3)) - 6`

`= 2 . sqrt(25) - 6`

`= 2 . 5 - 6`

`= 10 - 6`

`= 4`

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi `sqrt(x) + 3 = 25/(sqrt(x) + 3)`

`(sqrt(x) + 3)^2 = 25`

`(sqrt(x) + 3)^2 = (+-5)^2`

`sqrt(x) + 3 = 5` (vì `sqrt(x) + 3 > 0`)

`sqrt(x) = 2`

`x = 4` (tmđk)

Vậy `min P = 4` khi và chỉ khi `x = 4`.