$x - \sqrt{x} - 20 = (\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} + 4)$

`A = \frac{(\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} + 4)}{(\sqrt{x} - \sqrt{5})(\sqrt{x} + \sqrt{5})}`

`A = \frac{x - 5 - \sqrt{x} - 15}{x - 5} = \frac{x - 5}{x - 5} - \frac{\sqrt{x} + 15}{x - 5} = 1 - \frac{\sqrt{x} + 15}{x - 5}`

Để $A$ nguyên thì $\dfrac{\sqrt{x} + 15}{x - 5}$ phải là số nguyên

Gọi giá trị nguyên đó là $k$ ($k \in \mathbb{Z}$)

Đặt $\sqrt{x} = t$ (với $t \in \mathbb{Z}, t \geq 0, t \neq \sqrt{5}$)

`\frac{t + 15}{t^2 - 5} = k`

$\Rightarrow t + 15 = k(t^2 - 5)$

TH1: $k = 0$

$t + 15 = 0 \Rightarrow t = -15$ (loại vì $t \geq 0$)

TH2: $k \neq 0$

Để phân số $\dfrac{t + 15}{t^2 - 5}$ là số nguyên thì $|t + 15| \geq |t^2 - 5|$ (với điều kiện tử số khác 0) 

Nếu $t = 0$ ($x = 0$): $A = \dfrac{0 - 0 - 20}{0 - 5} = \dfrac{-20}{-5} = 4$ ( N)

Nếu $t = 1$ ($x = 1$): $A = \dfrac{1 - 1 - 20}{1 - 5} = \dfrac{-20}{-4} = 5$ (N)

Nếu $t = 2$ ($x = 4$): $A = \dfrac{4 - 2 - 20}{4 - 5} = \dfrac{-18}{-1} = 18$ (N)

Nếu $t = 3$ ($x = 9$): $A = \dfrac{9 - 3 - 20}{9 - 5} = \dfrac{-14}{4} = -3,5$ (L)

Nếu $t = 4$ ($x = 16$): $A = \dfrac{16 - 4 - 20}{16 - 5} = \dfrac{-8}{11}$ (L)

Nếu $t = 5$ ($x = 25$): $A = \dfrac{25 - 5 - 20}{25 - 5} = \dfrac{0}{20} = 0$ ( N)

Với $t = 6 \Rightarrow \dfrac{6+15}{36-5} = \dfrac{21}{31} < 1$

Khi $t$ càng lớn thì giá trị phân số này sẽ tiến dần về $0$ và luôn nằm trong khoảng $(0, 1)$

Nên ko thể là số nguyên

`->` Các giá trị $x$ nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $x \in \{0; 1; 4; 25\}$