hệ số: `a = 1;` `b' = m + 1;` `c = -2m - 3`.

Ta có:

`\Delta' = (m+1)^2 - 1(-2m-3)`

`\Delta' = m^2 + 2m + 1 + 2m + 3`

`\Delta' = m^2 + 4m + 4 = (m+2)^2`

phương trình `(1)` có hai nghiệm `x_1, x_2` 

`→` `\Delta' \geq 0`:

`(m+2)^2 \geq 0 \quad \text{(luôn đúng với mọi } m)`

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm với mọi giá thị của `m`.

`---`

Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = -2(m+1) = -2m - 2 \quad (2) \\ x_1x_2 = -2m - 3 \quad (3) \end{cases}$

Từ `(2`) ta có: `-2m = x_1 + x_2 + 2`. Thay vào `(3)`:

`x_1x_2 = (x_1 + x_2 + 2) - 3`

`⇔ x_1x_2 = x_1 + x_2 - 1`

`⇔ x_1x_2 - x_1 - x_2 + 1 = 0`

`⇔ (x_1 - 1)(x_2 - 1) = 0`

`Th1:`

`x_1 - 1 = 0`

`⇔ x_1 = 1`.

Thay `x_1 = 1` vào phương trình `(1)`:

`1^2 + 2(m+1) \cdot 1 - 2m - 3 = 0`

`⇔ 1 + 2m + 2 - 2m - 3 = 0` 

`⇔ 0 = 0` `\text{ (luôn đúng)}`

Từ `x_1 + x_2 = -2m - 2`

`⇒ 1 + x_2 = -2m - 2`

`⇒ x_2 = -2m - 3`.

Thay `x_1 = 1, x_2 = -2m - 3` vào điều kiện đề bài:

`\sqrt{2(-2m - 3) - 1} = 1 + 22`

`⇒ \sqrt{-4m - 7} = 23`

`⇒ -4m - 7 = 529`

`⇒ m = -134`

`Th2:`

`x_2 - 1 = 0 \Leftrightarrow x_2 = 1`.

Thay `x_2 = 1` ta có:

`\sqrt{2(1) - 1} = x_1 + 22`

`\sqrt{1} = x_1 + 22 `

`\Rightarrow 1 = x_1 + 22 `

`\Rightarrow x_1 = -21`

Thay `x_1 = -21` và `x_2 = 1` vào hệ thức Vi-ét `(2)`:

`-21 + 1 = -2m - 2`

`-20 = -2m - 2`

`-2m = -18 \Rightarrow m = 9`

Vậy các giá trị `m` thỏa mãn yêu cầu bài toán là `m = -134` và `m = 9`.

`---`

૮₍˶ •. • ⑅₎ა ♡