Ta có: `x^3 + 1 = 4y^2`

`x^3 = 4y^2 - 1`

`x^3 = (2y-1)(2y+1)`

Gọi `d=  (2y-1,2y+1)`, ta có 

`{(2y - 1 vdots d),(2y + 1 vdots d):}`

`2y - 1 - 2y - 1 vdots d`

`-2 vdots d`

`d in {-2;-1;1;2}`

Mà `d` nhận giá trị lớn nhất, đồng thời với `y in NN^**` thì `2y - 1` là số lẻ nên `2y - 1` $\not\vdots$ `2`, khi đó `d ne 2`

Suy ra: `d = 1` hay `2y - 1` và `2y + 1` là hai số nguyên tố cùng nhau

Gọi `2y - 1 = a^3` và `2y + 1 = b^3` (`a.b = x` và `a,b` là số nguyên dương)

Khi đó: `(2y + 1) - (2y - 1) = 2`

`a^3 - b^3 = 2`

`(a-b)(a^2+ab+b^2) = 2`

Với `a,b` nguyên dương, ta có bảng sau:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline \text{$a-b$}&\text{-2}&\text{-1}&\text{1}&\text{2}\\\hline \text{$a^{2}+ab+b^{2}$}&\text{-1}&\text{-2}&\text{2}&\text{1}\\\hline \text{a}&\text{$\emptyset$}&\text{$\emptyset$}&\text{$\emptyset$}&\text{$\emptyset$}\\\hline \text{b}&\text{$\emptyset$}&\text{$\emptyset$}&\text{$\emptyset$}&\text{$\emptyset$}\\\hline\end{array}

Vậy, không tồn tại cặp số nguyên dương `(x;y)` thỏa mãn điều kiện của đề bài (đpcm)