Đáp án + Giải thích các bước giải:

Coi viên đá như hình chóp cụt $ABCD.A'B'C'D'$ với $ABCD$ là đáy lớn, $A'B'C'D'$ là đáy nhỏ

Lúc này do $ABCD$ và $A'B'C'D'$ là các hình vuông nên các cặp cạnh đối diện nhau trong $ABCD$ và $A'B'C'D'$ đều song song với nhau

Do đó góc giữa đường chéo và cạnh đáy không phụ thuộc vào việc lựa chọn đường chéo hay cạnh đáy nào

Giả sử ta chọn góc giữa $B'D$ và $DC$ là góc $\widehat{B'DC}$ làm góc cần tính

Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $BC, B'C'$

$\Rightarrow \triangle MC'C = MB'B (\text{c} - \text{g} - \text{c})$

$\Rightarrow MN \bot B'C'$ và $MN \bot BC$

$\Rightarrow MN= \sqrt{2}$

Hạ $B'K \bot BC$ tại $K (K \in BC)$

$\Rightarrow MNB'K$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow \begin {cases} B'K = MN = \sqrt{2} \\ MK = B'N = \dfrac{1}{2} \end {cases}$

$\Rightarrow BK = BM - MK = \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2} = 1$

$\Rightarrow BB' = \sqrt{B'K^2 + BK^2} = \sqrt{\left(\sqrt{2}\right)^2 + 1^2} =\sqrt{3}$ 

Mặt khác, $CK = BC - BK = 3 -1  = 2$

$\Rightarrow B'C = \sqrt{B'K^2 + CK^2} = \sqrt{\left(\sqrt{2}\right)^2 + 2^2} = \sqrt{6}$

Hạ $B'I \bot BD$ tại $I( I \in BD)$7

Do $OO' \bot (ABCD)$ nên $OO' \bot BD$ tại $O$

$\Rightarrow OO'B'I$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow OI = O'B'$

Mà $O'B' = \dfrac{B'D'}{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow OI = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Mà $OB = \dfrac{BD}{2} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow BI = OI - OB = \sqrt{2}$

$\Rightarrow B'I = \sqrt{BB'^2 - BI^2} = \sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2 - \left(\sqrt{2}\right)^2} = 1$

Mặt khác, $ID = BD - BI = 3\sqrt{2} - \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

$\Rightarrow B'D = \sqrt{B'I^2 + ID^2} = \sqrt{1^2 + \left(2\sqrt{2}\right)^2} = 3$

Áp dụng định lý cosine, ta có:

$\cos \widehat{B'DC} = \dfrac{B'D^2 + BC^2 - B'C^2}{2B'D \cdot BC} = \dfrac{3^2 + 3^2 - 6}{2 \cdot 3\cdot 3} = \dfrac{2}{3} \approx 0,7$

Vậy cosine góc giữa đường chéo của viên đá với cạnh đáy của viên đá là khoảng $0,7$