Đáp án + Giải thích các bước giải:

Với điểm $I$ bất kỳ, ta có:

$\left|\overrightarrow{FA} + 3\overrightarrow{FB} - 2\overrightarrow{FC}\right|$

$= \left|\overrightarrow{FI} + \overrightarrow{IA} + 3\left(\overrightarrow{FI} + \overrightarrow{IB}\right) - 2\left(\overrightarrow{FI} + \overrightarrow{IC}\right)\right|$

$= \left|\overrightarrow{FI} + \overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{FI} + 3\overrightarrow{IB} - 2\overrightarrow{FI} - 2\overrightarrow{IC}\right|$

$= \left|2\overrightarrow{FI} + \overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} - 2\overrightarrow{IC}\right|$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{FA} + 3\overrightarrow{FB} - 2\overrightarrow{FC}\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất là $\left|2\overrightarrow{FI}\right| = 2FI$ khi $\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} - 2\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$

Gọi $I(x; y)$ là toạ độ điểm $I$, lúc này ta có:

$\overrightarrow{IA} = (1 - x; 3 - y)$

$\overrightarrow{IB} = (-3 - x; 1 - y)$

$\overrightarrow{IC} = (5 - x; -6 - y)$

Mà $\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} - 2\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \begin {cases} 1 - x + 3(-3 - x) - 2(5 - x) = 0 \\ 3 - y + 3(1 - y) - 2(-6 - y) = 0 \end {cases}$

$\Leftrightarrow \begin {cases} -18 - 2x = 0 \\ 18 - 2y = 0 \end {cases}$

$\Leftrightarrow \begin {cases} x = -9 \\ y = 9 \end {cases}$

$\Rightarrow I(-9; 9)$

$\left|\overrightarrow{FA} + 3\overrightarrow{FB} - 2\overrightarrow{FC}\right| = 2FI$ với $I(-9; 9)$ đạt giá trị nhỏ nhất

$\Rightarrow FI$ nhỏ nhất

Mà $F \in Oy \Rightarrow FI$ nhỏ nhất khi $F$ là hình chiếu của $I$ lên $Oy$

$\Rightarrow F(0; 9)$

$\Rightarrow a = 9$

$\Rightarrow 2a + 9 = 2 \cdot 9 + 9 = 27$