Áp dụng bất đẳng thức Cauchy--Schwarz:
\[
(x+y+z)^2 \ge 3(xy+yz+zx)
\]

Ta có:
\[
\left(\frac{a+b+c}{d}\right)^2
= \frac{(a+b+c)^2}{d^2}
\ge \frac{3(ab+bc+ca)}{d^2}
\]

Tương tự:
\[
\left(\frac{b+c+d}{a}\right)^2 \ge \frac{3(bc+cd+db)}{a^2}
\]
\[
\left(\frac{c+d+a}{b}\right)^2 \ge \frac{3(cd+da+ac)}{b^2}
\]
\[
\left(\frac{d+a+b}{c}\right)^2 \ge \frac{3(da+ab+bc)}{c^2}
\]

Cộng bốn bất đẳng thức trên, ta được:
\[
\sum \left(\frac{a+b+c}{d}\right)^2
\ge
3\left(
\frac{ab}{d^2}+\frac{bc}{d^2}+\frac{ca}{d^2}
+\frac{bc}{a^2}+\frac{cd}{a^2}+\frac{db}{a^2}
+\frac{cd}{b^2}+\frac{da}{b^2}+\frac{ac}{b^2}
+\frac{da}{c^2}+\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{c^2}
\right)
\]

Áp dụng bất đẳng thức AM--GM:
\[
\frac{ab}{d^2}+\frac{d^2}{ab} \ge 2
\]

Suy ra:
\[
\sum \left(\frac{a+b+c}{d}\right)^2
\ge
9\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}\right)
\]

Bất đẳng thức được chứng minh.