Đáp án + Giải thích các bước giải:

$\textbf{M} = x^2 + y^2 - xy - x + y + 1$

$4\textbf{M} = 4x^2 + 4y^2 - 4xy - 4x + 4y + 4$

$\phantom{4\textbf{M}} = 4x^2 - 4xy + y^2 + 3y^2 - 4x + 4y + 4$

$\phantom{4\textbf{M}} = (2x - y)^2 + 3y^2 - 4x + 2y + 2y + 4$

$\phantom{4\textbf{M}} = (2x - y)^2 - 2(2x - y) + 3y^2 + 2y + 4$

$\phantom{4\textbf{M}} = (2x - y)^2 - 2(2x - y) + 1 + 3y^2 + 2y + 3$

$\phantom{4\textbf{M}} = (2x - y - 1)^2 + 3y^2 + 2y + 3$

$\phantom{4\textbf{M}} = (2x - y - 1)^2 + \dfrac{1}{3}\left(9y^2 + 6y + 9\right)$

$\phantom{4\textbf{M}} = (2x - y - 1)^2 + \dfrac{1}{3}\left(9y^2 + 6y + 1 + 8\right)$

$\phantom{4\textbf{M}} = (2x - y - 1)^2 + \dfrac{1}{3}(3y + 1)^2 +\dfrac{8}{3}$

Ta có: $(2x - y - 1)^2 \ge 0, \forall x, y$ và $\dfrac{1}{3}(3y + 1)^2 \ge 0, \forall y$

Suy ra $4\textbf{M} = (2x - y - 1)^2 + \dfrac{1}{3}(3y + 1)^2 +\dfrac{8}{3} \ge \dfrac{8}{3}, \forall x, y$

Do đó $\textbf{M} \ge \dfrac{2}{3}, \forall x, y$

Dấu $=$ xảy ra khi $\begin {cases} 2x - y -1  = 0 \\ 3y + 1 = 0 \end {cases}$

Từ $3y + 1 = 0$, ta có $y = -\dfrac{1}{3}$

Thay $y = -\dfrac{1}{3}$ vào $2x - y - 1 = 0$, ta được:

$2x + \dfrac{1}{3} - 1 = 0$

$2x - \dfrac{2}{3} = 0$

$x = \dfrac{1}{3}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $\textbf{M}$ là $\dfrac{2}{3}$ khi $x = \dfrac{1}{3}$ và $y = -\dfrac{1}{3}$