a)
Vì $MH \perp NP$ nên $MH \perp HN$.
Mặt khác, tam giác $MNP$ cân tại $M$ nên $MH$ đồng thời là đường trung tuyến, suy ra
\[
HN \parallel MP.
\]
Do $K$ là trung điểm của $MP$ nên $K \in MP$, suy ra
\[
HK \parallel MN.
\]
Vậy tứ giác $HKMN$ là hình thang.


b)
Ta có $Mx \perp MH$ và $HK \perp MH$ nên
\[
Mx \parallel HK.
\]
Suy ra tứ giác $MHEK$ là hình chữ nhật, do đó
\[
EH = MK.
\]
Vì $K$ là trung điểm của $MP$ và tam giác $MNP$ cân tại $M$ nên
\[
MK = MN.
\]
Suy ra
\[
MN = EH.
\]

Mặt khác, $I$ là trung điểm của $MA$ và $C$ là trung điểm của $AH$ nên $IC$ là đường trung bình của tam giác $MAH$.
Do đó
\[
IC \parallel MH.
\]


c)
Vì $C$ là trung điểm của $AH$ nên
\[
CA = CH.
\]
Lại có $I$ là trung điểm của $MA$ nên
\[
IA \perp NH.
\]
Mặt khác, $MH \perp NP$ và $N \in NP$ nên
\[
NH \perp MI.
\]
Vậy $C$ là giao điểm của các đường trung trực trong tam giác $INH$, suy ra
\[
C \text{ là trực tâm của } \triangle INH.
\]
d)
Vì $N$ là trung điểm của $HB$ nên
\[
NH = NB.
\]
Suy ra $B$ đối xứng với $H$ qua $N$.
Mà $C$ là trực tâm của tam giác $INH$ nên
\[
IH \perp AB.
\]
Do đó
\[
AB \perp IH.
\]