\begin{cases} x - my = 1 \quad (1) \\ mx + y = 2 \quad (2) \end{cases}

Từ phương trình `(1)`, ta có: `x = 1 + my`.

Thế vào phương trình `(2)` ta có:

`m(1 + my) + y = 2`

`⇔ m + m^2y + y = 2`

`⇔ y(m^2 + 1) = 2 - m`

`⇔ y = \frac{2 - m}{m^2 + 1}` 

(vì `m^2 + 1 > 0` với mọi `m`)

Thay `y` vào biểu thức của `x`:

`x = 1 + m ( \frac{2 - m}{m^2 + 1})`

`x = \frac{m^2 + 1 + 2m - m^2}{m^2 + 1}`

`x = \frac{2m + 1}{m^2 + 1}`

Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi `m`: `(x; y) = ( \frac{2m + 1}{m^2 + 1}; \frac{2 - m}{m^2 + 1})`

`--`

Để `x \ge 0` và `y \ge 0`, ta cần:

\begin{cases} \frac{2m + 1}{m^2 + 1} \ge 0 \\ \frac{2 - m}{m^2 + 1} \ge 0 \end{cases}

Vì `m^2 + 1 > 0` với mọi `m`, hệ bất phương trình tương đương với:

\begin{cases} 2m + 1 \ge 0 \\ 2 - m \ge 0 \end{cases}

$\Leftrightarrow \begin{cases} m \ge -\frac{1}{2} \\ m \le 2 \end{cases}$

$\Leftrightarrow$ `-\frac{1}{2} \le m \le 2`

Vì `m` là số nguyên (`m \in \mathbb{Z}`), nên từ điều kiện `-\frac{1}{2} \le m \le 2`, ta chọn được các giá trị:

`m \in \{0; 1; 2\}`

Vậy có `3`  giá trị nguyên của `m` thỏa mãn yêu cầu bài toán là `m = 0, m = 1, m = 2`