Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{Đặt } \widehat{ABD} = \alpha \quad (0^\circ < \alpha < 90^\circ) \\
& \text{Khoảng cách từ } M \text{ đến } AD \text{ là } 1 \text{ km} \\
& \text{Khoảng cách từ } M \text{ đến } BD \text{ là } 8 \text{ km} \\
& \\
& AB = \dfrac{1}{\cos \alpha} + \dfrac{8}{\sin \alpha} \\
&\text{Xét } f(\alpha) = \dfrac{1}{\cos \alpha} + \dfrac{8}{\sin \alpha} \\
&\to f'(\alpha) = \dfrac{\sin \alpha}{\cos^2 \alpha} - \dfrac{8\cos \alpha}{\sin^2 \alpha} \\
&\text{Giải }f'(\alpha) = 0 \\
& \dfrac{\sin \alpha}{\cos^2 \alpha} = \dfrac{8\cos \alpha}{\sin^2 \alpha} \\
& \sin^3 \alpha = 8\cos^3 \alpha \\
& \tan^3 \alpha = 8 \\
& \tan \alpha = 2 \\
&\text{Khi đó: } \\
& AD = 8 + 1 \cdot \tan \alpha \\
& AD = 8 + 1 \cdot 2 \\
& AD = 10 \text{ (km)} \\
&\text{Ta có:} \\
& BD = 1 + 8 \cdot \cot \alpha \\
& BD = 1 + 8 \cdot \dfrac{1}{2} \\
& BD = 5 \text{ (km)} \\
& \\
& \text{Vậy:} \\
& \text{Vị trí } A \text{ cách } D \text{ là } 10 \text{ km} \\
& \text{Vị trí } B \text{ cách } D \text{ là } 5 \text{ km}
\end{aligned}$