Giải thích các bước giải:

a.Ta có $MN\perp AB, AB\perp AC\to MN//AC$

Mà $M$ là trung điểm $BC$

$\to MN$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\to AC=2MN, N$ là trung điểm $AB$

b.vì $M, N, P$ là trung điểm $BC, AB, AC$

$\to MN, NP$ là đường trung binh $\Delta ABC$

$\to NP//BC, MN//AC$

$\to MNPC$ là hình bình hành 

c.Vì $ANMP$ là hình chữ nhật

$\to AM\cap NP=E$ tại trung điểm mỗi đường

$\to E$ là trung điểm $AM, NP$

Ta có: $E, F$ là trung điểm $MA, MC$

$\to EF$ là đường trung bình $\Delta AMC$

$\to EF//AC$

Ta có: $\Delta ABC$ vuông tại $A, M$ là trung điểm $BC$

$\to AM=MB=MC=\dfrac12BC$

$\to \Delta MAC$ cân tại $M$

$\to \widehat{MAC}=\widehat{MCA}$

$\to \widehat{EAC}=\widehat{FCA}$

$\to AEFC$ là hình thang cân

d.Đề sai, Sửa lại $MK//AH, H\in BC, K\in AC$ chứng minh $BK\perp HN$

Gọi $BK\cap HN=D$

Ta có $\Delta AHB$ vuông tại $H,N$ là trung điểm $AB$
$\to NH=HB=HA=\dfrac12AB$

$\to \Delta NHB$ cân tại $N$

$\to \widehat{BND}=\widehat{BNH}=180^o-2\widehat{NBH}=180^o-2\hat B$

Ta có $KM\perp BC=M, M$ là trung điểm $BC$

$\to KM$ là đường trung trực $\Delta KBC$

$\to KB=KC$

$\to \Delta KBC$ cân tại $K$
$\to\widehat{KBC}=\widehat{KCB}=\hat C$

$\to \widehat{NBD}=\hat B-\widehat{KBC}=\hat B-\hat C$

$\to \widehat{BND}+\widehat{NBD}=180^o-2\hat B+\hat B-\hat C=180^o-(\hat B+\hat C)=180^o-90^o=90^o$

$\to \Delta NDB$ vuông tại $D$

$\to ND\perp BD\to NH\perp BK$