Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{Bài 1:}\\
& \text{Gọi đa thức dư khi chia } f(x) \text{ cho } x^2+x-2 \text{ là } ax+b \text{ (vì số chia bậc 2).} \\
& \text{Theo đề bài, ta có biểu thức của } f(x): \\
& f(x) = (x^2+x-2)(x^2+3) + ax+b \quad (*) \\
& \\
& \text{Từ dữ kiện đề bài:} \\
& \begin{cases} f(x) \text{ chia } x+4 \text{ dư } 9 \Rightarrow f(-4) = 9 \\ f(x) \text{ chia } x-2 \text{ dư } 2 \Rightarrow f(2) = 2 \end{cases} \\
& \\
& \text{Thay } x = -4 \text{ vào } (*): \\
& f(-4) = [(-4)^2+(-4)-2][(-4)^2+3] + a(-4) + b \\
& 9 = (16-4-2)(16+3) - 4a + b \\
& 9 = 10 \cdot 19 - 4a + b \\
& -4a + b = 9 - 190 \\
& -4a + b = -181 \quad (1) \\
& \\
& \text{Thay } x = 2 \text{ vào } (*): \\
& f(2) = (2^2+2-2)(2^2+3) + a(2) + b \\
& 2 = 4 \cdot 7 + 2a + b \\
& 2 = 28 + 2a + b \\
& 2a + b = -26 \quad (2) \\
& \\
& \text{Giải hệ phương trình (1) và (2):} \\
& \begin{cases} -4a + b = -181 \\ 2a + b = -26 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 6a = 155 \\ b = -26 - 2a \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = \dfrac{155}{6} \\ b = -\dfrac{233}{3} \end{cases} \\
& \\
& \text{Thay } a, b \text{ vào } (*), \text{ ta được đa thức cần tìm:} \\
& f(x) = (x^2+x-2)(x^2+3) + \dfrac{155}{6}x - \dfrac{233}{3} \\
& = x^2(x^2+3) + x(x^2+3) - 2(x^2+3) + \dfrac{155}{6}x - \dfrac{233}{3} \\
& = x^4 + 3x^2 + x^3 + 3x - 2x^2 - 6 + \dfrac{155}{6}x - \dfrac{233}{3} \\
& = x^4 + x^3 + x^2 + \left(3 + \dfrac{155}{6}\right)x - \left(6 + \dfrac{233}{3}\right) \\
& = x^4 + x^3 + x^2 + \dfrac{173}{6}x - \dfrac{251}{3}
\end{aligned}$

 $\begin{aligned}
& \text{Bài 2:}\\
& \text{Ta có: } x^2+x-2 = (x-1)(x+2) \\
& \text{Theo đề bài:} \\
& 1) \ A(x) \ \vdots \ (x-2) \Rightarrow A(2) = 0 \\
& 2) \ A(x) \text{ chia } x^2+x-2 \text{ dư } 3x+2 \Rightarrow \begin{cases} A(1) = 3(1)+2 = 5 \\ A(-2) = 3(-2)+2 = -4 \end{cases} \\
& \\
& \text{Thiết lập hệ phương trình từ 3 điều kiện trên:} \\
& \begin{cases} A(2) = a(2)^3 + b(2)^2 + c = 0 \\ A(1) = a(1)^3 + b(1)^2 + c = 5 \\ A(-2) = a(-2)^3 + b(-2)^2 + c = -4 \end{cases} \\
& \Leftrightarrow \begin{cases} 8a + 4b + c = 0 \quad (1) \\ a + b + c = 5 \quad (2) \\ -8a + 4b + c = -4 \quad (3) \end{cases} \\
& \\
& \text{Lấy (1) trừ (3):} \\
& (8a + 4b + c) - (-8a + 4b + c) = 0 - (-4) \\
& 16a = 4 \Rightarrow a = \dfrac{1}{4} \\
& \\
& \text{Lấy (1) cộng (3):} \\
& (8a + 4b + c) + (-8a + 4b + c) = 0 + (-4) \\
& 8b + 2c = -4 \Rightarrow 4b + c = -2 \quad (4) \\
& \\
& \text{Thay } a = \dfrac{1}{4} \text{ vào (2):} \\
& \dfrac{1}{4} + b + c = 5 \Rightarrow b + c = \dfrac{19}{4} \Rightarrow c = \dfrac{19}{4} - b \\
& \\
& \text{Thay } c \text{ vào (4):} \\
& 4b + \left(\dfrac{19}{4} - b\right) = -2 \\
& 3b = -2 - \dfrac{19}{4} \\
& 3b = -\dfrac{27}{4} \Rightarrow b = -\dfrac{9}{4} \\
& \Rightarrow c = \dfrac{19}{4} - \left(-\dfrac{9}{4}\right) = \dfrac{28}{4} = 7 \\
& \\
& \text{Vậy đa thức cần tìm là:} \\
& A(x) = \dfrac{1}{4}x^3 - \dfrac{9}{4}x^2 + 7
\end{aligned}$