a, Xét $ΔADH^{}$ và $ΔABH^{}$  có:

`\hat{H}` = $90^{o}$ ($AH⊥BC^{}$)

$DH=BH^{}$ ($GT^{}$)

$AH^{}$ là cạnh chung

Vậy $ΔADH^{}$ = $ΔABH^{}$ ($hai c.g.v^{}$)

⇒ $AD=AB^{}$ (Hai cạnh tương ứng)

Do đó: $ΔABD^{}$ cân tại A

mà `\hat{B}` = $90^{o}$$-^{}$`\hat{C}` = $90^{o}$$-^{}$$30^{o}$ = $60^{o}$ 

⇒ $ΔABD^{}$  là tam giác đều.

b,Vì $ΔABD^{}$ đều nên đường cao $AH^{}$ đồng thời là đường phân giác

⇒ `\hat{BAH}` = `\hat{DAH}` = $\frac{`\hat{BAD}`}{2}$ = $60^{o}$ : $2^{}$  = $30^{o}$

`\hat{DAC}` = $90^{o}$$-^{}$$60^{o}$ = $30^{o}$

mà `\hat{C}` = $90^{o}$ ⇒ $ΔADC^{}$ cân tại  $D^{}$

Do đó: $AD = DC^{}$ 

Ta có: `\hat{ADH}` = `\hat{CDE}` = $60^{o}$ (hai góc đối đỉnh)

Xét $ΔADH^{}$ và $ΔCDE^{}$ có:

`\hat{H}` = `\hat{E}` = $90^{o}$

`\hat{DAH}` = `\hat{DCE}` = $30^{o}$

$AD = CD^{}$ 

Vậy $ΔADH^{}$ = $ΔCDE^{}$ ($c.h-g.nh^{}$)

⇒ $AH = CE^{}$ (hai cạnh tương ứng) 

c, Vì $ΔADC^{}$ cân tại  $D^{}$ nên `\hat{ADC}` = $180^{o}$$-^{}$($30^{o}$+$30^{o}$) = $120^{o}$ 

Mà `\hat{ADC}` = `\hat{HDE}` ( hai góc đối đỉnh)

Lại có: $AH = CE^{}$ (theo câu b)

⇒ $ΔHDE^{}$ cân tại D

`\hat{DHE}` = ($180^{o}$$-^{}$$120^{o}$) $:2^{}$   = $30^{o}$

⇒ `\hat{DHE}` = `\hat{DCA}` = $30^{o}$

mà hai góc ở vị trí SLT nên EH // AC