Đáp án + Giải thích các bước giải:

Đặt $f(x) = x^2 + bx+ c$ và $g(x) = -0,25x^2 + b'x + c'$

Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(Q)$:

$x^2 + bx + c = -0,25x^2 + b'x + c'$

$1,25x^2 + (b - b')x + c - c' = 0 (1)$ 

Từ đồ thị, ta thấy $(P)$ và $(Q)$ cắt nhau tại hoành độ $x = 0$ và $x = 4$

Thay $x = 0$ vào $(1)$, ta được:

$0 + (b - b')\cdot 0 + c - c' = 0$

$\Leftrightarrow c - c' = 0$

$\Leftrightarrow 1,25x^2 + (b - b')x = 0$

Thay $x = 4$ vào $(1)$, ta được:

$1,25 \cdot 4^2 + (b - b') \cdot 4 = 0$

$\Leftrightarrow 20 + 4(b - b)' = 0$

$\Leftrightarrow b - b' = -5$

$\Rightarrow$ Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(Q)$ là $1,25x^2 - 5x = 0$

$\Rightarrow f(x) - g(x) = 1,25x^2 - 5x$

$\Rightarrow \textbf{S} = \displaystyle \int_0^4 |f(x) -g (x)|dx = \int_0^4 \left|1,25x^2 - 5x\right|dx$

Từ đồ thị, ta thấy $f(x) \le g(x), \forall x \in [0; 4]$

$\Rightarrow f(x) - g(x) = 1,25x^2 - 5x \le 0, \forall x \in [0; 4]$

$\Rightarrow \textbf{S} = \displaystyle \int_0^4 (5x - 1,25x^2)dx = \left.\left(\dfrac{5}{2}x^2 - \dfrac{5}{12}x^3\right)\right|^4_0 = \dfrac{40}{3}$