Đáp án + Giải thích các bước giải:

$y = \dfrac{2x - 1}{x + 1} = 2 - \dfrac{3}{x + 1}$

$\Rightarrow y' = \dfrac{3}{(x + 1)^2}$

$\Rightarrow$ Tiếp tuyến của đồ thị $C$ tại điểm $M(x_0; y_0)$ là:

$y = y'(x_0)(x - x_0) + y(x_0)$

$\phantom{y} = \dfrac{3}{(x_0 + 1)^2}(x - x_0) + 2 - \dfrac{3}{x_0 + 1}$

$\phantom{y} = \dfrac{3}{(x_0 + 1)^2}x - \dfrac{3x_0}{(x_0 + 1)^2} - \dfrac{3}{x_0 + 1} + 2$

$\phantom{y} = \dfrac{3}{(x_0 + 1)^2}x + \dfrac{2x_0^2 - 2x_0 -1 }{(x_0 + 1)^2}$

Ta có:

$\lim \limits_{x \to -1^+} y = \dfrac{-3^+}{0^+} = -\infty$

$\Rightarrow y$ có tiệm cận đứng $x = -1$

Mặt khác, $\lim \limits_{x \to +\infty} y = \lim \limits_{x \to +\infty} \dfrac{2 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = 2$

$\Rightarrow y$ có tiệm cận ngang $y = 2$

$\Rightarrow I(-1; 2)$

Thay $x =- 1$ vào phương trình tiếp tuyến của đồ thị $C$ tại $M(x_0; y_0)$, ta được:

$y = \dfrac{-3}{(x_0 + 1)^2} + \dfrac{2x_0^2 - 2x_0 -1 }{(x_0 + 1)^2} = \dfrac{2x_0^2 - 2x_0 - 4}{(x_0 + 1)^2} = \dfrac{2x_0 - 4}{x_0 + 1}$

$\Rightarrow A\left(-1; \dfrac{2x_0 - 4}{x_0 + 1}\right)$

Thay $y = 2$ vào phương trình tiếp tuyến của đồ thị $C$ tại $M(x_0; y_0)$, ta được:

$2 = \dfrac{3}{(x_0 + 1)^2}x + \dfrac{2x_0^2 - 2x_0 - 1}{(x_0 + 1)^2}$

$\Leftrightarrow 2(x_0 + 1)^2 =3x + 2x_0^2 - 2x_0 - 1$

$\Leftrightarrow 3x = 6x_0 + 3$

$\Leftrightarrow x = 2x_0 + 1$

$\Rightarrow B(2x_0 + 1; 2)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB} = \left(2x_0 + 2; 2 - \dfrac{2x_0 - 4}{x_0 + 1}\right) = \left(2x_0 + 2; \dfrac{6}{x_0 + 1}\right)$

$\Rightarrow AB = \sqrt{(2x_0 + 2)^2 + \left(\dfrac{6}{x_0 + 1}\right)^2}$

Do tiệm cận đứng và tiệm cận ngang vuông góc với nhau tại $I$ nên $\triangle IAB$ vuông tại $I$

$\Rightarrow AB^2 = IA^2 + IB^2 ($định lý Pytago$)$

$\Rightarrow 40 = (2x_0 + 2)^2 + \left(\dfrac{6}{x_0 + 1}\right)^2$

$\Leftrightarrow 4(x_0 + 1)^2 + \dfrac{36}{(x_0 + 1)^2} = 40$

$\Leftrightarrow (x_0 + 1)^4 - 10(x_0 + 1)^2 + 9 =0 $

Đặt $t = (x_0 + 1)^2$, phương trình trở thành:

$t^2 - 10t + 9 = 0$

$\Leftrightarrow (t - 1)(t - 9) = 0$

$\Leftrightarrow t = 1$ hoặc $t = 9$

Do $x_0 > 0$ nên $t = (x_0 +1 )^2 > 1$

$\Leftrightarrow t = 9$

$\Leftrightarrow (x_0 + 1)^2 = 9$

$\Leftrightarrow x_0 + 1 = 3 ($do $x_0 > 0)$

$\Leftrightarrow x_0 = 2$

$\Rightarrow y_0 = \dfrac{2 \cdot 2 - 1}{2 + 1} = 1$

$\Rightarrow \textbf{P} = x_0^2 + y_0^2 + x_0y_0 = 2^2 + 1 + 2 \cdot 1 = 7$