Cho ∆ABC biết B(2;-1), đường cao hạ từ A có phương trình 3x-4y+27=0, đường phân giác kẻ từ C có phương trình x+2y-5=0. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.

Đáp án:

 AB: 7x+3y-11=0

AC: x+1=0

BC: 4x+3y-5=0

Giải thích các bước giải:

Gọi CD là phân giác $\widehat{C}$
BC có vecto chỉ phương $\vec{u}(3;-4)$
$\Rightarrow $ BC có vecto pháp tuyến $\vec{n}(4;3)$
$\Rightarrow $  Phương trình đường thẳng BC :
$4.(x-2)+3.(y+1)$=0
$\Rightarrow 4x+3y-5$=0
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ :

$\left\{ \begin{array}{ll} x+2y-5= 0 &  \color{red}{(1)} \\4x+3y= 5 & \color{red}{(2)}
\end{array} \right.$
$\Rightarrow x$=-1;$y$=3
$\Rightarrow C(-1;3)$
Gọi vecto pháp tuyến của AC là $\vec{n}(a;)$
$\cos \widehat{(AC;AD)}$=$\cos 
\widehat{(BC;AD)}$
$\Leftrightarrow \frac{a+2b}{\sqrt{1+4}.\sqrt{a^2+b^2}}$=$\frac{4+2.3}{\sqrt{1+4}.\sqrt{4^2+3^2}}$
$\Leftrightarrow a+2b$=$2.\sqrt{a^2+b^2}$
$\Leftrightarrow$  a=0  hoặc  $3a$=$4b$
TH1:$3a$=$4b$

$\Rightarrow $ chọn $a$=4;$b$=3
$\Rightarrow $ Phương trình AC : 4(x+1)+3(y-3)=0 (loại)
(Vì $\equiv BC$)
TH2: $a$=0 
$\Rightarrow$ Phương trình đường thẳng AC: $x+1$=0
 A nằm trên AC $\Rightarrow A(-1;m)$
 Thay tọa độ A vào phương trình đường cao kẻ từ A ta có:
 $-4m+24$=0

$\Leftrightarrow$ $m$=6 
$ \Rightarrow  A(-1;6)$
$\rightarrow \vec{AB}(3;-7)$
Phương trình đường thẳng AB:
$7.(x-2)+3.(y+1)$=0
Hay $7x+3y-11$=0