Đáp án:

 câu a 

• Chứng minh AEEB=AMMBthe fraction with numerator cap A cap E and denominator cap E cap B end-fraction equals the fraction with numerator cap A cap M and denominator cap M cap B end-fraction𝐴𝐸𝐸𝐵=𝐴𝑀𝑀𝐵:
  • Trong △ABMtriangle cap A cap B cap M△𝐴𝐵𝑀, MEcap M cap E𝑀𝐸 là đường phân giác của ∠AMBangle cap A cap M cap B∠𝐴𝑀𝐵 (theo giả thiết).
  • Theo tính chất đường phân giác của tam giác, tỉ lệ các đoạn thẳng trên cạnh đối diện bằng tỉ lệ hai cạnh kề, ta có: 

AEEB=AMMBthe fraction with numerator cap A cap E and denominator cap E cap B end-fraction equals the fraction with numerator cap A cap M and denominator cap M cap B end-fraction𝐴𝐸𝐸𝐵=𝐴𝑀𝑀𝐵

• Chứng minh AEEB=AFFCthe fraction with numerator cap A cap E and denominator cap E cap B end-fraction equals the fraction with numerator cap A cap F and denominator cap F cap C end-fraction𝐴𝐸𝐸𝐵=𝐴𝐹𝐹𝐶:
  • Ta có EF∥BCcap E cap F is parallel to cap B cap C𝐸𝐹∥𝐵𝐶 (theo giả thiết). 
  • Xét △ABCtriangle cap A cap B cap C△𝐴𝐵𝐶 với EF∥BCcap E cap F is parallel to cap B cap C𝐸𝐹∥𝐵𝐶, theo định lí Thalès, ta có:

AEEB=AFFCthe fraction with numerator cap A cap E and denominator cap E cap B end-fraction equals the fraction with numerator cap A cap F and denominator cap F cap C end-fraction𝐴𝐸𝐸𝐵=𝐴𝐹𝐹𝐶 b) Chứng minh: MFcap M cap F𝑀𝐹 là phân giác của AMCcap A cap M cap C𝐴𝑀𝐶.

• Từ câu a), ta có AMMB=AFFCthe fraction with numerator cap A cap M and denominator cap M cap B end-fraction equals the fraction with numerator cap A cap F and denominator cap F cap C end-fraction𝐴𝑀𝑀𝐵=𝐴𝐹𝐹𝐶.
• Mà MB=MCcap M cap B equals cap M cap C𝑀𝐵=𝑀𝐶 (vì AMcap A cap M𝐴𝑀 là trung tuyến của △ABCtriangle cap A cap B cap C△𝐴𝐵𝐶), nên ta suy ra AMMC=AFFCthe fraction with numerator cap A cap M and denominator cap M cap C end-fraction equals the fraction with numerator cap A cap F and denominator cap F cap C end-fraction𝐴𝑀𝑀𝐶=𝐴𝐹𝐹𝐶.
• Xét △AMCtriangle cap A cap M cap C△𝐴𝑀𝐶, ta có tỉ lệ AFFC=AMMCthe fraction with numerator cap A cap F and denominator cap F cap C end-fraction equals the fraction with numerator cap A cap M and denominator cap M cap C end-fraction𝐴𝐹𝐹𝐶=𝐴𝑀𝑀𝐶. Theo định lí Thalès đảo, MFcap M cap F𝑀𝐹 là đường phân giác của ∠AMCangle cap A cap M cap C∠𝐴𝑀𝐶.

c) Gọi Ncap N𝑁 là giao của AMcap A cap M𝐴𝑀 và EFcap E cap F𝐸𝐹. Chứng minh Ncap N𝑁 là trung điểm của EFcap E cap F𝐸𝐹.

• Vì EF∥BCcap E cap F is parallel to cap B cap C𝐸𝐹∥𝐵𝐶 nên EN∥BMcap E cap N is parallel to cap B cap M𝐸𝑁∥𝐵𝑀 và NF∥MCcap N cap F is parallel to cap M cap C𝑁𝐹∥𝑀𝐶.
• Trong △ABMtriangle cap A cap B cap M△𝐴𝐵𝑀, có EN∥BMcap E cap N is parallel to cap B cap M𝐸𝑁∥𝐵𝑀, theo hệ quả định lí Thalès: ENBM=ANAMthe fraction with numerator cap E cap N and denominator cap B cap M end-fraction equals the fraction with numerator cap A cap N and denominator cap A cap M end-fraction𝐸𝑁𝐵𝑀=𝐴𝑁𝐴𝑀.
• Trong △AMCtriangle cap A cap M cap C△𝐴𝑀𝐶, có NF∥MCcap N cap F is parallel to cap M cap C𝑁𝐹∥𝑀𝐶, theo hệ quả định lí Thalès: NFMC=ANAMthe fraction with numerator cap N cap F and denominator cap M cap C end-fraction equals the fraction with numerator cap A cap N and denominator cap A cap M end-fraction𝑁𝐹𝑀𝐶=𝐴𝑁𝐴𝑀.
• Từ hai tỉ lệ trên, suy ra ENBM=NFMCthe fraction with numerator cap E cap N and denominator cap B cap M end-fraction equals the fraction with numerator cap N cap F and denominator cap M cap C end-fraction𝐸𝑁𝐵𝑀=𝑁𝐹𝑀𝐶.
• Mà BM=MCcap B cap M equals cap M cap C𝐵𝑀=𝑀𝐶 (do AMcap A cap M𝐴𝑀 là trung tuyến), nên EN=NFcap E cap N equals cap N cap F𝐸𝑁=𝑁𝐹.
• Vậy Ncap N𝑁 là trung điểm của EFcap E cap F𝐸𝐹.

d) BFcap B cap F𝐵𝐹 cắt CEcap C cap E𝐶𝐸 tại Icap I𝐼. Chứng minh A,I,Mcap A comma cap I comma cap M𝐴,𝐼,𝑀 thẳng hàng.

• Xét △ABCtriangle cap A cap B cap C△𝐴𝐵𝐶 và ba đường thẳng AMcap A cap M𝐴𝑀, BFcap B cap F𝐵𝐹, CEcap C cap E𝐶𝐸.
• Ta có Mcap M𝑀 là trung điểm của BCcap B cap C𝐵𝐶 (do AMcap A cap M𝐴𝑀 là trung tuyến).
• Từ câu a), ta có AEEB=AFFCthe fraction with numerator cap A cap E and denominator cap E cap B end-fraction equals the fraction with numerator cap A cap F and denominator cap F cap C end-fraction𝐴𝐸𝐸𝐵=𝐴𝐹𝐹𝐶.
• Áp dụng định lí Ceva cho △ABCtriangle cap A cap B cap C△𝐴𝐵𝐶 với ba đường AMcap A cap M𝐴𝑀, BFcap B cap F𝐵𝐹, CEcap C cap E𝐶𝐸 đồng quy tại Icap I𝐼, ta có:

AEEB⋅BMMC⋅CFFA=1the fraction with numerator cap A cap E and denominator cap E cap B end-fraction center dot the fraction with numerator cap B cap M and denominator cap M cap C end-fraction center dot the fraction with numerator cap C cap F and denominator cap F cap A end-fraction equals 1𝐴𝐸𝐸𝐵⋅𝐵𝑀𝑀𝐶⋅𝐶𝐹𝐹𝐴=1

• Thay AEEB=AFFCthe fraction with numerator cap A cap E and denominator cap E cap B end-fraction equals the fraction with numerator cap A cap F and denominator cap F cap C end-fraction𝐴𝐸𝐸𝐵=𝐴𝐹𝐹𝐶 và BM=MCcap B cap M equals cap M cap C𝐵𝑀=𝑀𝐶 vào, ta được:

AFFC⋅1⋅CFFA=1the fraction with numerator cap A cap F and denominator cap F cap C end-fraction center dot 1 center dot the fraction with numerator cap C cap F and denominator cap F cap A end-fraction equals 1𝐴𝐹𝐹𝐶⋅1⋅𝐶𝐹𝐹𝐴=1

• Điều này đúng. Do đó, ba đường thẳng AMcap A cap M𝐴𝑀, BFcap B cap F𝐵𝐹, CEcap C cap E𝐶𝐸 đồng quy tại Icap I𝐼.
• Vậy ba điểm Acap A𝐴, Icap I𝐼, Mcap M𝑀 thẳng hàng.

Giải thích các bước giải: