Câu 3. (1 điểm) Cho tam giác 𝐴 𝐵 𝐶 có 𝐴 𝐵 = 4 , 𝐴 𝐶 = 6 , 𝐵 𝐴 𝐶 ^ = 60 . Gọi 𝑀 , 𝐼 lần lượt là trung điểm của BC và AM. N là giao điểm của BI và AC

Question

Câu 3. (1 điểm) Cho tam giác 𝐴 𝐵 𝐶 có 𝐴 𝐵 = 4 , 𝐴 𝐶 = 6 , 𝐵 𝐴 𝐶 ^ = 60 . Gọi 𝑀 , 𝐼 lần lượt là trung điểm của BC và AM. N là giao điểm của BI và AC. a) Chứng minh rằng: 𝐴 𝑁 = 1 /3 𝐴 𝐶 .. b) Tính 𝐴 𝑀 ⃗ ⋅ 𝐵 𝑁 ⃗ . giúp mình với ạ mình đang cần gấp

Nguyenvu12345 · Answer

a)

$\displaystyle 	ext{Ta có } M 	ext{ là trung điểm } BC \Rightarrow \vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC}).$
$\displaystyle I 	ext{ là trung điểm } AM \Rightarrow \vec{AI} = \frac{1}{2}\vec{AM} = \frac{1}{4}(\vec{AB} + \vec{AC}).$
$\displaystyle \Rightarrow \vec{BI} = \vec{AI} - \vec{AB} = \frac{1}{4}\vec{AC} - \frac{3}{4}\vec{AB}.$
$\displaystyle 	ext{Đặt } \vec{AN} = x\vec{AC} \Rightarrow \vec{BN} = \vec{AN} - \vec{AB} = x\vec{AC} - \vec{AB}.$
$\displaystyle B, I, N 	ext{ thẳng hàng } \Leftrightarrow \vec{BN} = k\vec{BI} \Leftrightarrow x\vec{AC} - \vec{AB} = k\left(\frac{1}{4}\vec{AC} - \frac{3}{4}\vec{AB}ight).$
$\displaystyle \Rightarrow \begin{cases} -1 = -\frac{3}{4}k \ x = \frac{1}{4}k \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} k = \frac{4}{3} \ x = \frac{1}{3} \end{cases}.$
$\displaystyle 	ext{Vậy } \vec{AN} = \frac{1}{3}\vec{AC} \Rightarrow AN = \frac{1}{3}AC.$

b) 
$\displaystyle \vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \cdot AC \cdot \cos 60^\circ = 4 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 12.$
$\displaystyle \vec{AM} \cdot \vec{BN} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC}) \cdot \left(\frac{1}{3}\vec{AC} - \vec{AB}ight)$
$\displaystyle = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3}\vec{AB} \cdot \vec{AC} - AB^2 + \frac{1}{3}AC^2 - \vec{AC} \cdot \vec{AB} ight)$
$\displaystyle = \frac{1}{2} \left( -\frac{2}{3}\vec{AB} \cdot \vec{AC} - AB^2 + \frac{1}{3}AC^2 ight)$
$\displaystyle = \frac{1}{2} \left( -\frac{2}{3} \cdot 12 - 4^2 + \frac{1}{3} \cdot 6^2 ight)$
$\displaystyle = \frac{1}{2} (-8 - 16 + 12) = -6.$

flagsnemesis2 · Answer

Đáp án + Giải thích các bước giải:
$	extbf{a}\bigg)$
Đặt $\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AN}$
Do $M$ là trung điểm của $BC$
$\Rightarrow \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AC} =  2\overrightarrow{AM}$
Mà $\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AM} (I$ là trung điểm của $AM)$
$\Rightarrow \overrightarrow{AB} + k\overrightarrow{AN} = 4\overrightarrow{AI}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \dfrac{k}{4}\overrightarrow{AN} (1)$
Đặt $\overrightarrow{BI} = x\overrightarrow{BN}$
$\Rightarrow \overrightarrow{BI} = x\left(\overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AB}ight) = x\overrightarrow{AN} - x\overrightarrow{AB}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{BI} +\overrightarrow{AB} = x\overrightarrow{AN} + (1 - x)\overrightarrow{AB} (2)$
Từ $(1)$ và $(2) \Rightarrow \begin {cases} 1 - x = \dfrac{1}{4} \ x = \dfrac{k}{4} \end {cases}$
$\Leftrightarrow 1 - \dfrac{k}{4} =\dfrac{1}{4}$
$\Leftrightarrow 4 - k = 1$
$\Leftrightarrow k = 3$
$\Rightarrow \overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AN}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{AN} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$
$	extbf{b}\bigg)$
Ta có:
$\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AB} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$
$2\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AC}$
$\Rightarrow 2\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BN} = \left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}ight)\left(\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC} -\overrightarrow{AB}ight)$
$\phantom{\Rightarrow 2\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BN}} = -\left(\overrightarrow{AB}ight)^2 + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + \dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AC}ight)^2$
$\phantom{\Rightarrow 2\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BN}} = -4^2 - \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + \dfrac{1}{3} \cdot 6^2$
$\phantom{\Rightarrow 2\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BN}} = -16 - \dfrac{2}{3}\left|\overrightarrow{AB}ight|\left|\overrightarrow{AC}ight| \cos \widehat{BAC} + 12$
$\phantom{\Rightarrow 2\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BN}} = -4 - \dfrac{2}{3} \cdot 4 \cdot 6 \cos 60^\circ$
$\phantom{\Rightarrow 2\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BN}} = -4 - 16 \cdot \dfrac{1}{2} = -12$
$\Rightarrow \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BN} = -6$

TRẢ LỜI

Bạn muốn hỏi điều gì?

PH/HS Tham Gia Nhóm Lớp 10 Để Trao Đổi Tài Liệu, Học Tập Miễn Phí!

Bạn muốn hỏi điều gì?

Tìm kiếm với hình ảnh

Hãy đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí!

Lưu vào

TRẢ LỜI

Bạn muốn hỏi điều gì?

PH/HS Tham Gia Nhóm Lớp 10 Để Trao Đổi Tài Liệu, Học Tập Miễn Phí!

Bạn muốn hỏi điều gì?

Lý do báo cáo vi phạm?