Hải muốn làm một mô hình đồ chơi bằng gỗ có dạng là hình chóp tam giác đều. Biết các cạnh bên của hình chóp được làm bằng các thanh gỗ có chiều dài là 12cm. Bạn Hải muốn trang trí phần xung quanh của hình chóp bằng cách dán giấy màu. Gọi độ dài cạnh đáy của hình chóp là x(cm)(0<x<12). Để chắc chắn phủ kín được các mặt xung quanh của đồ chơi thì bạn Hải cần dùng ít nhất bao nhiêu cm² giấy màu? (Coi các đường mép gấp là không đáng kể)

Giải thích các bước giải:

Gọi $h$ là chiều cao của một mặt bên (kẻ từ đỉnh chóp xuống cạnh đáy $x$).

Ta có:

$h = \sqrt{12^2 - \left(\dfrac{x}{2}\right)^2} = \sqrt{144 - \dfrac{x^2}{4}}$

Diện tích một mặt bên:

$S_{\Delta} = \dfrac{1}{2} \cdot \text{cạnh đáy} \cdot \text{chiều cao} = \dfrac{1}{2} \cdot x \cdot \sqrt{144 - \dfrac{x^2}{4}}$

Diện tích xung quanh (gồm 3 mặt):

$S_{xq} = 3 \cdot \dfrac{x}{2} \sqrt{\dfrac{576 - x^2}{4}} = \dfrac{3x}{4} \sqrt{576 - x^2}=\dfrac34\sqrt{x^2(576-x^2)}\le\dfrac34\cdot \sqrt{\dfrac14(576-x^2+x^2)}$

$\to S_{xq}\le 9$

Dấu = xảy ra khi $576-x^2=x^2$

$\to x=12\sqrt2$ (xem lại điều kiện $0<x<12$)

$\to h = \sqrt{12^2 - (6\sqrt{2})^2} = \sqrt{144 - 72} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$

Diện tích giấy để dán kín phần xung quanh (gồm 3 mặt bên) là:

$3 \cdot \dfrac12\cdot 12\sqrt2\cdot 6\sqrt2 = 3 \cdot 72 = 216 \text{ (cm}^2)$