\[ A = 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + \ldots + 2^{30} \] \[ 2^3 = 8 \equiv 1 \pmod{7} \] \[ \Rightarrow 2^{3\cdot 1} \equiv 1,\ 2^{3\cdot 2} \equiv 1,\ 2^{3\cdot 3} \equiv 1,\ldots \] \[ \Rightarrow 2^3,\ 2^6,\ 2^9,\ldots,2^{30} \text{ đều cho phần dư } 1 \text{ khi chia cho 7} \] Vì từ \(2^1\) đến \(2^{30}\) có 30 số, chia thành 10 nhóm, mỗi nhóm 3 số: \[ (2^1 + 2^2 + 2^3),\ (2^4 + 2^5 + 2^6),\ldots,(2^{28}+2^{29}+2^{30}) \] Trong mỗi nhóm: \[ 2^{3k+1} \equiv 2,\quad 2^{3k+2} \equiv 4,\quad 2^{3k+3} \equiv 1\pmod{7} \] \[ \Rightarrow 2 + 4 + 1 = 7 \equiv 0 \pmod{7} \] Có tổng cộng 10 nhóm: \[ A = 7 + 7 + \ldots + 7 \ (\text{10 lần}) = 70 \] \[ 70 \equiv 0 \pmod{7} \] \[ \boxed{A \text{ chia hết cho } 7} \]