Giải thích các bước giải:

Gọi $D$ là trung điểm $AB$

Gọi $I$ là điểm thoả mãn:

$\vec{IA}+\vec{IB}+3\vec{IC}=\vec0$

$\to 2\vec{ID}+3\vec{IC}=\vec0$ vì $D$ là trung điểm $AB$

$\to 2\vec{ID}=-3\vec{IC}$

$\to I$ nằm giữa $DC$ và $2ID=3IC$

Ta có:

$|\vec{MA}+\vec{MB}+3\vec{MC}|$

$=|\vec{MI}+\vec{IA}+\vec{MI}+\vec{IB}+3\vec{MI}+3\vec{IC}|$

$=|5\vec{MI}+\vec{IA}+\vec{IB}+\vec{IC}|$

$=|5\vec{MI}+0|$

$=|5\vec{MI}|$

$=5MI$

Do $M\in (d)$

$\to MI$ chỉ có thể đạt giá trị nhỏ nhât skhi $IM\perp (d), $ không có giá trị lớn nhất của $IM$

Ta có: $\Delta ABC$ đều cạnh $2\sqrt3$

$\to CD=\dfrac{2\sqrt3\cdot \sqrt3}2$

$\to CD=3$

Do $2DI=3IC$

$\to \dfrac{ID}3=\dfrac{IC}2=\dfrac{IC+ID}{3+2}=\dfrac{CD}5=\dfrac35$

$\to ID=\dfrac95, IC=\dfrac65$

Ta có:

$DA=DB=\dfrac12AB=\sqrt3$

$\tan\widehat{DBI}=\dfrac{DI}{DB}$

$\to \tan\widehat{DBI}=\dfrac{\dfrac95}{\sqrt3}$

$\to\widehat{DBI}\approx46.1^o$

$\to \widehat{IBM}=180^o-60^o-46.1^o=73.9^o$

Ta có:

$IB=\sqrt{DB^2+DI^2}=\sqrt{(\sqrt3)^2+(\dfrac95)^2}=\frac{2\sqrt{39}}{5}$

$\sin\widehat{MBI}=\dfrac{IM}{IB}\to IM=IB\sin\widehat{MBI}\approx  2.4$

$\to GTNN|\vec{MA}+\vec{MB}+3\vec{MC}|=2.4$