Đáp án`+`Giải thích các bước giải:

`a)`

Theo đề bài ta có `:`

`P` `∈` `DC` và `N` `∈` `AB`

Do `:` `ABCD` là hình chữ nhật 
Nên `:` `AB` `//``//` `CD`

`=>` `DP` `//``//` `NB`

Tứ giác `NBDP` `có `:` `PD` `//``//` `NB` và `NP` `//``//` `BD`

`=>` `NBDP` là hình bình hành

`b)`

Do `:` `ABCD` là hình chữ nhật

Nên `:` `AC` `=` `BD`

`=>` `{AC}/2` `=` `{BD}/2`

`=>` `AI` `=` `ID`

`=>` `ΔAID` cân tại `I`

`ΔAID` cân tại `I` có `:` `IM` là đường trung tuyến

`=>` `IM` cũng là đường cao

`=>` `IM` `⊥` `AB`

Mà `:` `DC` `⊥` `AB` `(` `ABCD` là hình chữ nhật `)`

`=>` `IM` `//``//` `DC`

`=>` `IM` `//``//` `PC`

Tứ giác `MICP` có `:` `IM` `//``//` `PC`

`=>` `MICP` là hình thang

Ta có `:` 

Do `:` `ABCD` là hình chữ nhật

Nên `:` `AC` `=` `BD`

`=>` `{AC}/2` `=` `{BD}/2`

`=>` `CI` `=` `ID`

`=>` `ΔCID` cân tại `I`

`=>` `\hat{ICD}` `=` `\hat{IDC}` 

`DC` `//``//` `AB` `(` Hình chữ nhật `ABCD` `)`

`=>` `\hat{IDC}` `=` `\hat{IBA}`

Mà `:` `\hat{IBA}` `=` `\hat{DPM}` `(` `NBDP` là hình bình hành `)`

`=>` `\hat{DPM}` `=` `\hat{ICD}`

Hình thang `MICP` có `:` `\hat{DPM}` `=` `\hat{ICD}`

`=>` `MICP` là hình thang cân

`c)`

Gọi `L` là giao điểm `MN` và `AH`

`ΔADB` có `:` `MN` `//``//` `DB` theo định lý Thales ta có `:`

`{AM}/{MD}` `=` `{AN}/{NB}`

Mà `:` `AM` `=` `MD`

`=>` `{AN}/{NB}` `=` `1`

`=>` `AN` `=` `NB`

`=>` `N` là trung điểm `AB`

`=>` `AN` `=` `NB` `=` `{AB}/2`

Mà `:` `AD` `=` `{AB}/2`

`=>` `AN` `=` `AD` 

`3DK` `=` `KC`

`=>` `4DK` `=` `KC` `+` `DK`

`=>` `4DK` `=` `DC`

`=>` `4DK` `=` `2AD`

`=>` `4DK` `=` `4AM`

`=>` `DK` `=` `AM` 

`ΔAMN` và `ΔKDA`

`AD` `=` `AN` `(cmt)`

`DK` `=` `AM` `(cmt)`

`\hat{ADK}` `=` `\hat{MAN}` `(` `=` `90^o` `)`

`=>` `ΔAMN` `=` `ΔKDA` `(c-g-c)`

`=>` `\hat{DAK}` `=` `\hat{MNA}` `(` `2` góc tương ứng `)`

`\hat{DAK}` `+` `\hat{LAN}` `=` ``\hat{DAB}`

`\hat{MNA}` `+` `\hat{LAN}` `=` `90^o`

`=>` `AL` `⊥` `MN`

Mà `:` `MN` `//``//` `DB`

`=>` `AL` `⊥` `DB`

`=>` `AH` `⊥` `DB`

`ΔAHB` vuông tại `B` có `HN` là đường trung tuyến

`=>` `HN` `=` `{AB}/2`

`=>` `HN` `=` `NA`

`=>` `ΔHNA` cân tại `N`

`\color{firebrick}\text{☾IzunaUchiha☾}`