Giải thích các bước giải:

+ Số chính phương chia $3$ dư $0$ hoặc $1$

Giả sử $x, y$ đều không chia hết cho $3$:

$$\begin{cases}
x \not\vdots 3 \\
y \not\vdots 3
\end{cases}
\implies
\begin{cases}
x^2 \equiv 1 \pmod 3 \\
y^2 \equiv 1 \pmod 3
\end{cases}
\implies z^2 = x^2 + y^2 \equiv 1 + 1 = 2 \pmod 3$$

Điều này vô lý vì một số chính phương chia $3$ không thể dư $2$.

$$\implies \left[ \begin{array}{l} x \vdots 3 \\ y \vdots 3 \end{array} \right. \implies xyz \vdots 3 \quad (1)$$

+ Số chính phương chia $4$ dư $0$ hoặc $1$

Giả sử $x, y$ đều là số lẻ:

$$\begin{cases}
x \equiv 1, 3 \pmod 4 \\
y \equiv 1, 3 \pmod 4
\end{cases}
\implies
\begin{cases}
x^2 \equiv 1 \pmod 4 \\
y^2 \equiv 1 \pmod 4
\end{cases}
\implies z^2 = x^2 + y^2 \equiv 2 \pmod 4$$

Điều này vô lý vì một số chính phương chia $4$ không thể dư $2$.
$\implies$ Trong $x, y$ tồn tại ít nhất một số chẵn. Giả sử $x$ chẵn.

Nếu $y$ chẵn $\implies xyz \vdots 4$.

Nếu $y$ lẻ $\implies z$ lẻ (vì $z^2 = x^2 + y^2$ là chẵn + lẻ = lẻ).
Ta có $z, y$ là số lẻ $\implies z^2 \equiv 1 \pmod 8$ và $y^2 \equiv 1 \pmod 8$.

$$  \implies x^2 = z^2 - y^2 \equiv 1 - 1 = 0 \pmod 8$$

$$  x^2 \vdots 8 \implies x^2 \vdots 16 \implies x \vdots 4 \implies xyz \vdots 4$$

Từ hai trường hợp trên $\implies xyz \vdots 4 \quad (2)$

+ Số chính phương chia $5$ dư $0,1$ hoặc $4$

Giả sử $x, y, z$ đều không chia hết cho $5$:

$$\implies x^2, y^2, z^2 \in \{1; 4\} \pmod 5$$

Ta xét các tổng khả thi của $x^2 + y^2 \pmod 5$:

$$\begin{cases}
1 + 1 = 2 \notin \{1; 4\} \\
4 + 4 = 8 \equiv 3 \notin \{1; 4\} \\
1 + 4 = 5 \equiv 0 \notin \{1; 4\}
\end{cases}$$

Vậy không tồn tại $x, y, z$ không chia hết cho $5$ thỏa mãn đẳng thức.

$$\implies \left[ \begin{array}{l} x \vdots 5 \\ y \vdots 5 \\ z \vdots 5 \end{array} \right. \implies xyz \vdots 5 \quad (3)$$

Từ $(1), (2), (3)$ và do $(3, 4, 5)$ đôi một nguyên tố cùng nhau:

$$xyz \vdots (3 \cdot 4 \cdot 5) \implies xyz \vdots 60 \quad (dpcm)$$