Giải thích các bước giải:

Bài 1:

 a) $(x-1)^3 - (x+1)^3 + 6(x+1)(x-1)$

$
= (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) - (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) + 6(x^2 - 1) \\
= x^3 - 3x^2 + 3x - 1 - x^3 - 3x^2 - 3x - 1 + 6x^2 - 6 \\
= (x^3 - x^3) + (-3x^2 - 3x^2 + 6x^2) + (3x - 3x) + (-1 - 1 - 6) \\
= -8
$

$\Rightarrow$ Biểu thức không phụ thuộc vào $x$.

b) $(x+1)(x^2 - x + 1) - (x-1)(x^2 + x + 1)$$
= (x^3 + 1) - (x^3 - 1) \\
= x^3 + 1 - x^3 + 1 \\
= 2
$

$\Rightarrow$ Biểu thức không phụ thuộc vào $x$.

c) $(x-2)^2 - (x-3)(x-1)$

$
= (x^2 - 4x + 4) - (x^2 - x - 3x + 3) \\
= x^2 - 4x + 4 - (x^2 - 4x + 3) \\
= x^2 - 4x + 4 - x^2 + 4x - 3 \\
= 1
$

$\Rightarrow$ Biểu thức không phụ thuộc vào $x$.

d) $(x+1)(x^2 - x + 1) - (x-1)(x^2 + x + 1)$
(Câu này giống hệt câu b)

e) $(x-1)^3 - (x+1)^3 + 6(x+1)(x-1)$
(Câu này giống hệt câu a)

f) $(x+3)^2 - (x-3)^2 - 12x$

$
= (x^2 + 6x + 9) - (x^2 - 6x + 9) - 12x \\
= x^2 + 6x + 9 - x^2 + 6x - 9 - 12x \\
= (x^2 - x^2) + (6x + 6x - 12x) + (9 - 9) \\
= 0
$

$\Rightarrow$ Biểu thức không phụ thuộc vào $x$.

Bài 2:

a) $1 + 2xy - x^2 - y^2$

$
= 1 - (x^2 - 2xy + y^2) \\
= 1^2 - (x-y)^2 \\
= [1 - (x-y)][1 + (x-y)] \\
= (1 - x + y)(1 + x - y)
$

b) $a^2 + b^2 - c^2 - d^2 - 2ab + 2cd$

$
= (a^2 - 2ab + b^2) - (c^2 - 2cd + d^2) \\
= (a-b)^2 - (c-d)^2 \\
= [(a-b) - (c-d)][(a-b) + (c-d)] \\
= (a - b - c + d)(a - b + c - d)
$

c) $a^3b^3 - 1$

$
= (ab)^3 - 1^3 \\
= (ab - 1)(a^2b^2 + ab + 1)
$

d) $x^2(y-z) + y^2(z-x) + z^2(x-y)$

$
= x^2(y-z) + y^2[-(x-y) - (y-z)] + z^2(x-y) \\
= x^2(y-z) - y^2(x-y) - y^2(y-z) + z^2(x-y) \\
= [x^2(y-z) - y^2(y-z)] - [y^2(x-y) - z^2(x-y)] \\
= (y-z)(x^2 - y^2) - (x-y)(y^2 - z^2) \\
= (y-z)(x-y)(x+y) - (x-y)(y-z)(y+z) \\
= (x-y)(y-z)[(x+y) - (y+z)] \\
= (x-y)(y-z)(x-z)
$

e) $x^2 - 15x + 36$

$
= x^2 - 3x - 12x + 36 \\
= x(x-3) - 12(x-3) \\
= (x-3)(x-12)
$

f) $x^{12} - 3x^6y^6 + 2y^{12}$

$
= x^{12} - x^6y^6 - 2x^6y^6 + 2y^{12} \\
= x^6(x^6 - y^6) - 2y^6(x^6 - y^6) \\
= (x^6 - y^6)(x^6 - 2y^6) \\
= (x^3 - y^3)(x^3 + y^3)(x^6 - 2y^6) \\
= (x-y)(x^2+xy+y^2)(x+y)(x^2-xy+y^2)(x^6 - 2y^6)
$

g) $x^8 - 64x^2$

$
= x^2(x^6 - 64) \\
= x^2[(x^2)^3 - 4^3] \\
= x^2(x^2 - 4)(x^4 + 4x^2 + 16) \\
= x^2(x-2)(x+2)(x^4 + 4x^2 + 16)
$

h) $(x^2 - 8)^2 - 784$

$
= (x^2 - 8)^2 - 28^2 \\
= (x^2 - 8 - 28)(x^2 - 8 + 28) \\
= (x^2 - 36)(x^2 + 20) \\
= (x-6)(x+6)(x^2 + 20)
$

Bài 3:

a.Ta có: 

$
35x^3 + 41x^2 + 13x - 5 = 35x^3 - 14x^2 + 55x^2 - 22x + 35x - 14 + 9 \\
= 7x^2(5x - 2) + 11x(5x - 2) + 7(5x - 2) + 9 \\
= (5x - 2)(7x^2 + 11x + 7) + 9
$

Vậy kết quả phép chia là:$\text{Thương: } 7x^2 + 11x + 7, \quad \text{Dư: } 9$

b.Ta có:

$
x^4 - 6x^3 + 16x^2 - 22x + 15 = x^2(x^2 - 2x + 3) - 4x^3 + 13x^2 - 22x + 15 \\
= x^2(x^2 - 2x + 3) - 4x(x^2 - 2x + 3) + 5x^2 - 10x + 15 \\
= x^2(x^2 - 2x + 3) - 4x(x^2 - 2x + 3) + 5(x^2 - 2x + 3) \\
= (x^2 - 2x + 3)(x^2 - 4x + 5)
$

Vậy kết quả phép chia là: $x^2 - 4x + 5$

c.Ta có:

$
x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 = (x^4 + x^2y^2) - (x^3y + xy^3) \\
= x^2(x^2 + y^2) - xy(x^2 + y^2) \\
= (x^2 + y^2)(x^2 - xy)
$

Vậy kết quả phép chia là: $x^2 - xy$

d.Ta có:

$
4x^4 - 14x^3y - 24x^2y^2 - 54y^4 = 4x^2(x^2 - 3xy - 9y^2) + 12x^3y + 36x^2y^2 - 14x^3y - 24x^2y^2 - 54y^4 \\
= 4x^2(x^2 - 3xy - 9y^2) - 2x^3y + 12x^2y^2 - 54y^4 \\
= 4x^2(x^2 - 3xy - 9y^2) - 2xy(x^2 - 3xy - 9y^2) - 6x^2y^2 - 18xy^3 + 12x^2y^2 - 54y^4 \\
= 4x^2(x^2 - 3xy - 9y^2) - 2xy(x^2 - 3xy - 9y^2) + 6x^2y^2 - 18xy^3 - 54y^4 \\
= 4x^2(x^2 - 3xy - 9y^2) - 2xy(x^2 - 3xy - 9y^2) + 6y^2(x^2 - 3xy - 9y^2) \\
= (x^2 - 3xy - 9y^2)(4x^2 - 2xy + 6y^2)
$

Vậy kết quả phép chia là: $4x^2 - 2xy + 6y^2$