Ta sẽ cm: `u_n = n/( 2n + 1 )` với `n >= 1`

`u_1 = 1/(( 2 . 1 - 1 )( 2 . 1 + 1 )) = 1/3 = 1/( 2 . 1 + 1 )` đúng

`u_2 = 1/( 1 . 3 ) + 1/(( 2 . 2 - 1 )( 2 . 2 + 1 )) = 2/5 = 2/( 2 . 2 + 1 )` đúng 

Giả sử công thức trên đúng đến `n - 1` ta sẽ cm nó cũng đúng với `n`

Ta có: `u_n = 1/( 1 . 3 ) + ... + 1/(( 2n - 3 )( 2n - 1 )) + 1/(( 2n - 1 )( 2n + 1 ))`

`u_n = u_( n - 1 ) + 1/(( 2n - 1 )( 2n + 1 ))`

`u_n = (n-1)/( 2n - 1 ) + 1/(( 2n - 1 )( 2n + 1 ))`

`u_n = (( n - 1 )( 2n + 1 ) + 1 )/(( 2n - 1 )( 2n + 1 ))`

`u_n = ( 2n^2 - n )/(( 2n - 1 )( 2n + 1 )) = n/( 2n + 1 )` 

theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm

Vậy số hạng tổng quát của dãy là: `u_n = n/( 2n + 1 )`