$\displaystyle\text{a)} \\\text{Vì } d \text{ là tiếp tuyến của } (O) \text{ tại } A \text{ nên } OA \perp AM. \\\text{Xét } \Delta OAM \text{ vuông tại } A, \text{ theo định lý Pythagoras:} \\OM^2 = OA^2 + AM^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \\\Rightarrow OM = \sqrt{25} = 5 \text{ (cm)}.$

$\text{b)} \\\text{Xét } \Delta OAC \text{ có } OA = OC = R \Rightarrow \Delta OAC \text{ cân tại } O. \\\text{Có } OH \perp AC \text{ (do } OM \perp AC \text{ tại } H \text{), nên } OH \text{ là đường cao đồng thời là phân giác.} \\\Rightarrow \widehat{AOM} = \widehat{COM}. \\\text{Xét } \Delta OAM \text{ và } \Delta OCM \text{ có:} \\\begin{cases} OA = OC (= R) \\ \widehat{AOM} = \widehat{COM}\text{ (cmt)} \\ OM \text{ chung} \end{cases} \\\Rightarrow \Delta OAM = \Delta OCM \text{ (c.g.c)} \\\Rightarrow \widehat{OCM} = \widehat{OAM} = 90^\circ. \\\Rightarrow MC \perp OC \text{ tại } C. \\\text{Vậy } MC \text{ là tiếp tuyến của đường tròn } (O).$

$\text{c)} \\\text{Gọi } I \text{ là trung điểm của } AH. \\\text{Xét } \Delta AHM \text{ có } I, N \text{ lần lượt là trung điểm của } AH, HM. \\\Rightarrow IN \text{ là đường trung bình của } \Delta AHM\Rightarrow IN // AM. \\\text{Mà } AM \perp AB \text{ (do } AM \text{ là tiếp tuyến, } AB \text{ là đường kính)} \Rightarrow IN \perp AB \text{ hay } IN \perp AO. \\\text{Xét } \Delta AIN \text{ có:} \\\begin{cases} NO \perp AI \text{ (do } OM \perp AC \text{)} \\ AO \perp IN \text{ (cmt)} \end{cases} \\\Rightarrow O \text{ là trực tâm của } \Delta AIN \Rightarrow IO \perp AN. \quad (1) \\\text{Xét } \Delta ABH \text{ có } O, I \text{ lần lượt là trung điểm của } AB, AH. \\\Rightarrow OI \text{ là đường trung bình của } \Delta ABH \Rightarrow OI // BH. \quad (2) \\\text{Từ (1) và (2) suy ra } BH \perp AN. \\\text{Mặt khác, } \widehat{AKB} = 90^\circ \text{ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) }\Rightarrow BK \perp AK \text{ hay } BK \perp AN. \\\text{Qua điểm } B \text{ có hai đường thẳng }BH \text{ và } BK \text{ cùng vuông góc với } AN. \\\Rightarrow B, H, K \text{ thẳng hàng.}$