Đáp án+Giải thích các bước giải:

Với` x,y,z>0 `thỏa `xy+yz+zx+xyz=4`, đặt

`x = 2a/(b+c), y = 2b/(c+a), z = 2c/(a+b)` với `a,b,c>0`

Gọi `S1 = x+y+z, S2 = xy+yz+zx`

`\Rightarrow` `(S1−S2)(a+b)(b+c)(c+a) = 2[ a(a−b)(a−c) + b(b−c)(b−a) + c(c−a)(c−b) ]`

Theo bất đẳng thức Schur bậc 1, với `a,b,c≥0` ta được `a(a−b)(a−c) + b(b−c)(b−a) + c(c−a)(c−b) ≥ 0`

Do đó vế phải không âm, nên `(S1−S2)(a+b)(b+c)(c+a) ≥ 0`

Vì `(a+b)(b+c)(c+a) > 0`

`\Rightarrow` ` S1−S2 ≥ 0`, tức `x + y + z ≥ xy + yz + zx`

 Trường hợp đạt dấu bằng: khi `a = b = c,` suy ra `x = y = z = 1`

Vậy `x+y+z ≥ xy+yz+zx` (đpcm)