Giải thích các bước giải:

a.Vì $MA, CM$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to MA=MC, OM\perp AC$

Vì $DB, DC$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to DB=DC$

$\to MD=MC+CD=AM+BD$

b.Vì $MA, MC$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to OM$ là phân giác $\widehat{AOC}$

Tương tự: $OD$ là phân giác $\widehat{BOC}$

Mà $\widehat{AOC}+\widehat{BOC}$

$\to OM\perp OD$

$\to \widehat{MOA}=90^o-\widehat{DOB}=\widehat{ODB}$

Ta có: $\widehat{MAO}=\widehat{OBD}(=90^o)$

$\to \Delta MAO\sim\Delta OBD(g.g)$

c.Gọi $OE\cap BM=G$

Ta có: $DB, DC$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to OD\perp BC$

Vì $AB$ là đường kính của $(O)\to \widehat{ACB}=90^o$

$\to CA\perp BC$

$\to OD//AC$

$\to OD//AE$

Mà $O$ là trung điểm $AB$

$\to D$ là trung điểm $BE$

$\to DB=DE=\dfrac12BE$

Ta có:

$\Delta AMO\sim\Delta BOD$

$\to \dfrac{AM}{BO}=\dfrac{AO}{BD}$

$\to \dfrac{AM}{BO}=\dfrac{2AO}{2BD}$

$\to \dfrac{AM}{BO}=\dfrac{AB}{BE}$

Lại có: $\widehat{MAB}=\widehat{OBE}(=90^o)$

$\to \Delta AMB\sim\Delta BOE(c.g.c)$

$\to \widehat{MBA}=\widehat{OEB}$

$\to \widehat{OBG}=\widehat{OEB}$

$\to \Delta OGB\sim\Delta OBE(g.g)$

$\to \widehat{OGB}=\widehat{OBE}=90^o$

$\to BM\perp OE$

d.Gọi $CN\cap AB=F$

Ta có: $AM//BD(\perp AB)$

$\to \dfrac{NM}{NB}=\dfrac{AM}{BD}=\dfrac{CM}{CD}$

$\to CN//DB$

$\to \dfrac{CN}{DB}=\dfrac{MN}{MB}=\dfrac{AN}{AD}=\dfrac{NF}{BD}$

$\to NC=NF$

$\to N$ là trung điểm $CF$

Ta có: $MA, MC$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to OM\perp AC=I$ là trung điểm $AC$

Tương tự: $K$ là trung điểm $CB$

$\to NI, NK$ là đường trung bình $\Delta CFA,\Delta CFB$

$\to NI//AF, NK//FB$

$\to NI//AB, NK//AB$

$\to N, I, K$ thẳng hàng