Theo đề bài, ta có `f(sqrt(7) - 2) = 20` nên `f(sqrt(7) - 2) - 20 = 0`

Đặt `f'(x) = f(x) - 20` nên `f'(sqrt(7) - 2) = f(sqrt(7) - 2) - 20 = 0`

Dễ thấy rằng `f'(x)` cũng là đa thức bậc `2024` với hệ số nguyên

Giả sử `f'(x) = (x^2 + 4x - 3) . q(x) + ax + b (a,b in NN)`

Với `x = sqrt(7) - 2` thì `f'(x) = (x^2 + 4x -3) . q(x) + ax + b = 0`

Mà `x^2 + 4x - 3`

`= (sqrt(7)-2)^2 + 4 . (sqrt(7) - 2) - 3`

`= 7 - 4sqrt(7) + 4 + 4sqrt(7) - 8 - 3`

`= 0`

Nên `ax + b = 0`

`a (sqrt(7) - 2) + b = 0`

`sqrt(7) a - 2a + b = 0`

`sqrt(7)a = 2a -b`

Mà `a,b in NN` nên `sqrt(7)a in NN`, khi đó `a = 0` thì `sqrt(7)a = 0`

Nên `2a - b = 0`

`b = 0`

Suy ra: `a = b = 0`

Khi đó: `f'(x) = (x^2 + 4x -3) . q(x)`

`f'(-2 - sqrt(7)) = 0 . q(x) = 0`

`f(-2 - sqrt(7)) - 20 = 0`

`f(-2-sqrt(7)) = 20`

Khi đó: `4 f(-2-sqrt(7)) + 3 = 4 . 20 + 3 = 80 + 3 = 83` là số nguyên tố (đpcm)