Giải thích các bước giải:

a.Vì $AH\perp BC$

$\to \Delta AHB$ vuông tại $H$

$\to AB^2=AH^2+HB^2$

$\to HB^2=AB^2-AH^2$

$\to HB^2=9$

$\to HB=3$

b.Vì $AM=AH\to \Delta AMH$ cân tại $A$

Mà $AI$ là phân giác $\widehat{BAH}$

$\to AI$ là phân giác $\widehat{MAH}$

$\to AI$ đồng thời là trung trực $MH$

$\to IM=IH$

c.Vì $AH=AN$

$\to \Delta AHN$ cân tại $A$

Mà $AK$ là phân giác $\widehat{HAN}$

$\to AK$ là trung trực $HN$

$\to KH=KN$

Vì $AM=AN\to \Delta AMN$ vuông cân tại $A\to \widehat{AMN}=\widehat{ANM}=45^o$

Xét $\Delta AIM,\Delta AIH$ có:
Chung $AI$

$AM=AH$

$IM=IH$

$\to \Delta AIM=\Delta AIH(c.g.c)$

$\to \widehat{AHI}=\widehat{AMI}=45^o$

Tương tự: $\widehat{AHK}=45^o$

$\to \widehat{IHK}=\widehat{AHI}+\widehat{AHK}=90^o$

$\to \Delta HIK$ vuông tại $H$

$\to HI^2+HK^2=IK^2$

$\to IM^2+KN^2=IK^2$