Đáp án`+`Giải thích các bước giải:

`a,` Vì `E` là trung điểm của `CD`

`= OE \bot CD` (quan hệ đường kính và dây cung)

Xét tứ giác `OEAM` có:

`\hat{OAM} = 90^o` (do `AM` là tiếp tuyến của `(O)`)

`\hat{OEM} = 90^o` (do `OE \bot CD`)

`=> \hat{OAM} = \hat{OEM} (=90^o)`

Mà hai góc này cùng chắn cung `OM`

`=>` tứ giác `OEAM` nội tiếp

`=> O;E;A;M` cùng thuộc một đường tròn `(1)` 

Xét tứ giác `OEMB` có:

`\hat{OEM} = 90^o` (do `OE \bot CD`)

`\hat{OBM} = 90^o` (do `MB` là tiếp tuyến của `(O)`)

`=> \hat{OEM} + \hat{OBM} = 180^o`

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

`=>` tứ giác `OEMB` nội tiếp

`=> O;E;M;B` cùng thuộc một đường tròn `(2)`

Từ `(1)` và `(2) => M;A;E;O;B` cùng thuộc một đường tròn (đpcm)

`b,` Xét `\triangleODE` vuông tại `E` có:

`DE = \sqrt{OD^2 - OE^2} = \sqrt{R^2  - 3^2} = \sqrt{10^2 - 3^2} = \sqrt{91}`

Vậy `DE = \sqrt{91} cm`

`c,` Xét `\triangleAMB` có:

`MA = MB` (tính chất hai tia tiếp tuyến cắt nhau)

`=> \triangleAMB` cân tại `M`

Mà `MO` là tia phân giác `\hat{AMB}` 

`=> MO` đồng thời là đường trung trực ứng với cạnh `AB` (đpcm)

`d,` Xét `\triangleMCB` và `\triangleMBD` có:

`\hat{DMB}:` chung

`\hat{CBM} = \hat{CDB}` (cùng chắn cung `CB`)

`=> \triangleMCB ~ \triangleMBD` (g.g)

`=> (MC)/(MB) = (MB)/(MD)`

`=> MC. MD = MB^2`

Áp dụng hệ thức lượng vào `\triangleOBM` vuông tại `B` đường cao `BH` có:

`OH.OM = OB^2`

Khi đó: `OH.OM + MC.MD = OB^2 + MB^2 = OM^2 = 10^2 = 100`

`***`sharksosad